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Beitrag |
    
Simone
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Dezember, 2001 - 11:58: | 
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Hallo,
Hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen
kann.
Gegeben sind die Ellipsen
E1 : 4 x^2 + 9 y^2 = 36
E2 : 4 x^2 + 9 y^2 = 144
Die Tangente mit Berührungspunkt P1 auf E1 schneidet
E2 in den Punkten Q und R .
Man beweise, dass P1 der Mittelpunkt der Strecke QR ist.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
MfG
Simone |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Dezember, 2001 - 15:53: |
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Hi Simone,
Die Gleichung einer Tangente von E1 mit P1(x1/y1)
als Berührungspunkt lautet:
4 x1* x+ 9 y1* y = 36 oder y = (36 – 4 x1 * x ) / ( 9 y1 ).
Setzen wir dies in die Gleichung von E2 ein, so entsteht
nach mehreren Vereinfachungen eine quadratische
Gleichung für x, die Abszisse des Schnittpunktes Q oder R:
9 * y1 ^ 2 * x ^ 2 + 4* (9 – x1*x) ^ 2 = 324* y1^2 oder
9 * y1 ^ 2 * x ^ 2+324– 72* x1* x + 4x1^2*x^2 = 324*y1^2
geordnet :
(4*x1^2 + 9*y1^2 )* x^2 - 72* x1* x + 324 * (1 – y1^2) = 0
Oh Wunder : der Inhalt der letzten Klammer ist wegen der
Tatsache, dass P1(x1/y1) auf der Ellipse E1 liegt, gerade 36
Kürzen wir noch mit 36, so kommt die einfache quadratische
Gleichung in x:
x ^ 2 – 2 * x1* x + 9 * ( 1 – y1 ^ 2 ) = 0
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Die Lösungen xI und xII sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte
Q und R der Tangente t mit der zweiten Ellipse E2.
Mit Vieta erkennen wir sofort:
xI + xII = 2 * x1 oder ½* (xI + xII) = x1.
Damit ist (mindestens) die Hälfte der Behauptung bewiesen,
dass der Mittelpunkt der Strecke QR mit P1 übereinstimmt.
Dass auch ½ *(yI + yII) = y1 gilt, ist evident.
Die kleine Rechnung, die dies zeigt, soll dennoch durchgeführt werden.
Wir arbeiten mit der Tangentengleichung
y = (36 – 4 x1 * x) / ( 9 * y1) und ersetzen darin x einmal durch xI,
zum andern durch xII ; die y-Werte werden dann zu yI und yII, also:
yI = (36 – 4 x1 * xI ) / ( 9 * y1)
yII = (36 – 4 x1 * xII ) / ( 9 * y1 )
Addieren wir nun die beiden Gleichungen, so entsteht :
yI +yII = 2 * [36 – 4 x1 ^ 2 ] / ( 9 * y1 ) = 2 * y 1 , also
½ * ( yI + yII ) = y1 , wie es sein muss.
Damit ist dieser famose Satz bewiesen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Simone
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 09:39: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
ich danke Dir für die Lösung meines
Problems mit den zwei Ellipsen und
wünsche Dir alles Gute im neuen Jahr !
Simone |
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