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Anna
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 09:43: | 
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Also ich versteht von diesen beispiel einfach nur nüsse. kenn mich mit e absolut nicht aus.
kann mir das irgendjemand vorrechnen und dabei den vorgang erklären, dann denk ich dass ich mich auskennen werde.
Danke schon mal!
für jede reelle zahl a ist eine funktion f(a) gegeben durch:f(a)=(a+lnx) / x
a) wie gross muss a gewählt werden wenn an der stelle x= e hoch -2 ein extremwert liegt?
b)Für a=2 den definitionbereich bestimmen? wie mach ich sowas bei ln?
E, W, N hab ich ausgerechnet!
N=(e hoch -2/0) W=(0,6/2,17) E=(e hoch -1 / e)
c) der graph der funktion f(2) die x achse und die zur y achse parallele gerade durch den hochpunkt von f(2)
umschließen einr fläche. berechne den inhalt. |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 10:27: |
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Hallo Anna
nehme an, du meinst die Funktionenschar
fa(x)=(a+lnx)/x
a) 1. Ableitung bilden
fa'(x)=[1/x*x-(a+lnx)*1]/x² (Quotientenregel, wobei (lnx)'=1/x gilt)
fa'(x)=(1-a-lnx)/x²
Extrema bedeutet 1. Ableitung Null setzen; also
(1-a-lnx)/x²=0
<=> 1-a-lnx=0
<=> lnx=1-a
=> x=e1-a
x=e-2=e1-a
<=> -2=1-a <=> a=3
Somit hat die Funktion für a=3 an der Stelle x=e-2 ein Extremum.
b) f2(x)=(2+lnx)/x
Zunächst einmal darf x nicht 0 werden, da sonst der Nenner 0 wäre.
Außerdem ist ln nur für x>0 definiert
Insgesamt ist der Definitionsbereich also D={x Element R| x>0}
c) A=ò1/e² (1/e)f(x)dx
f(x)=(2+lnx)/x=2/x+lnx/x
f(x)=f1(x)+f2(x) mit
f1(x)=2/x und f2(x)=lnx/x
F1(x)=2lnx
Die Stammfunktion zu f2(x) erhält man mittels partieller Integration; also
sei u'=1/x und v=lnx
dann folgt u=lnx und v'=1/x
Insgesamt also
òlnx/x=(lnx)²-ò1/x*lnx dx
=> òlnx/x=1/2*(lnx)²
also F2(x)=1/2*(lnx)²
=> F(x)=2lnx+(1/2)*(lnx)²
Nun noch die Grenzen einsetzen, ergibt
A=[2lnx+(1/2)*(lnx)²]1/e1/e²
=|2ln(1/e)+(1/2)*(ln(1/e))²-(2*ln(1/e²)+(1/2)*(ln(1/e²))²|
=|-2+(1/2)*1-(2*(-2)+(1/2)*4)|
=|-2+0,5-(-4+2)|=|-1,5+2|=0,5
Mfg K. |
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