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Raindrop
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 04:04: | 
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Hi,
ich schaffe diese Aufgabe irgendwie nicht, danke im voraus für jede Hilfe
gegeben ist die Funktionsschar:
fa: D -> R, x->(x^2+2x)/(x^2-2ax+a); a element R
1.) Bestimmen sie den Definitionsbereich sowie die ersten beiden Ableitungen der Funktion f1:
D->R mit f1(x)=(x^2+2x)/(x^2-2x+1)
(Teilergebnis: f'1(x)= (-4x-2)/(x-1)^3)
2.) Bestimmen sie die Nullstellen von f1. Untersuchen sie den Graphen von f1 auf Extrempunkte und Wendepunkte. Untersuchen sie das Verhalten von f1 für x->+- unendlich sowie an den Definitionslücken. Zeichenn sie den Graphen von f1. (Ich weiss dass ds mit den Graphen nicht so gut klappt, aber ichbin trotzdem dankbar für jede kleine Hilfe)
3.) Ermittlen sie die Punkte p(1/k), von denen aus man zwei, eine oder keine tangente an den Graphen von f1 legen kann.
Danke, danke, danke an dem der mir nur ein bisschen helfen kann! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 11:20: |
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Hi Raindrop,
Frühaufsteher werden belohnt !
Zur Lösung der Teilaufgabe 3) benötigen wir die erste Ableitung
der Funktion f1(x) ; diese lautet, wie bereits festgehalten:
f1` (x) = - 2 * ( 1 + 2 x ) / ( x –1 ) ^ 3 .
Eine Kurventangente t habe den Berührungspunkt P1(x1/y1) mit
der Kurve.
Damit t durch den Punkt P(1 / k ) geht, muss die Steigung
m = f1`(x1) von t mit dem Differenzenquotient
d = [f1(x1) – k)] / [ x1 – 1 ] übereinstimmen; aus d = m folgt:
[(x1^2 + 2 x1) / ( x1-1 )^2 – k ] / [x1 – 1 ] = - 2 * [1+2 x1] / (x1-1)^3
Wir setzen x1 = u , schaffen alle Brüche weg und vereinfachen so weit
wie möglich.
Uebrig bleibt eine quadratische Gleichung für u , nämlich:
(1 – k ) * u ^ 2 + 2 * ( k + 3 ) * u + 2 – k = 0
Wir benötigen die Diskriminante D dieser Gleichung; es kommt:
D = 4 * ( k + 3 ) ^ 2 – 4* ( 1 - k ) * ( 2 - k ) = 4 * (9 k + 7)
Resultat.
i) D>0 bedeutet: zwei reelle und verschiedene Lösungen u , d.h. zwei Tangenten
ii) D=0 bedeutet : eine Doppellösung u, d.h. es gibt genau eine Tangente
iii) D<0 bedeutet : keine (reelle) Lösung u ,d.h. es gibt keine Tangente
Diese Fälle treten der Reihe nach ein für k >, = , < - 7/9
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Raindrop
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 17:41: |
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Vielen Dank! |
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