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Beitrag |
    
Alex
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 17:39: | 
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Hallo,
Ich soll folgende Aufgabe lösen und bekomme keinen
Zugang zu einem Lösungweg.
Wie lautet die Gleichung der Hyperbel, welche die Geraden
3 x – y – 3 = 0 und x – 3 y + 3 = 0 zu Asymptoten hat und
die x-Achse berührt ?
Für Lösungshinweise wäre ich sehr dankbar.
MfG
Alex |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2001 - 08:42: |
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Hi Alex,
Wir untersuchen zuerst die beiden Asymptoten
a1 : 3 x – y - 3 = 0 und a2 : x – 3 y + 3 = 0
Sie schneiden sich im Punkt M( 1,5 / 1,5 ) ,
dem Mittelpunkt der zu bestimmenden Hyperbel.
Die Ursprungsgerade w mit der Gleichung y = x
ist die eine der Winkelhalbierenden von a1 und a2.
Diese Gerade spielt die Rolle der Symmetrieachse
der Hyperbel. Es wird sich herausstellen, dass
die beiden Scheitelpunkte der Hyperbel auf w liegen
und w somit eine der beiden Achsen der Hyperbel,
die so genannte reelle Achse, darstellt.
Mit diesem Wissen setzen wir als Gleichung der Hyperbel
die folgende Gleichung zweiten Grades in x, y an:
A * x ^ 2 + 2 * B * x * y + A * y ^ 2 + 2 * D * x + 2* D * y + F = 0…(1)
Die genannte Symmetrie wurde damit realisiert, dass die
Koeffizienten von x^2 und y^2 einerseits und diejenigen von
x und y andrerseits gleichgesetzt werden.
Es geht nun darum, die vier Konstanten zu bestimmen.,
wobei sie bekanntlich nur bis auf Proportionalität bestimmt sind.
Eine dieser Konstanten ist frei wählbar; wir wählen etwa
A = 6.
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Zur Bestimmung der restlichen Koeffizienten stellen wir 3
Gleichungen auf.
Wir beschäftigen uns mit den Asymptoten einer durch die
Gleichung (1) gegebenen Hyperbel.
Wir dividieren beide Seiten der Gleichung (1) mit x^2 und lassen
x gegen unendlich streben. Der Quotient ( y / x ) strebt dabei gegen
die Steigung m der Asymptote.
Wir erhalten für m die Gleichung:
A + 2 * B * m + A * m ^ 2 = 0................................................................(2)
Es genügt wegen der bereits berücksichtigten Symmetrie zu y = x
nur eine der beiden Asymptoten zu berücksichtigen; wir wählen a1
Wir setzen die Steigung m = 3 von a1 in die Gleichung (2) ein und
bekommen eine weiter Gleichung für die Koeffizienten, nämlich :
10 A + 6 B = 0 oder 5 A + 3 * B = 0 , Da wir A = 6 gewählt haben,
kommt B = - 10.
Damit haben wir schon die quadratische Form der Hyperbelgleichung
gewonnen, nämlich :
F(x,y) = 6 x ^ 2 – 2 0 x * y + 10 y ^ 2
Die Determinante der Form lautet 6 * 6 – 10 * 10 = - 64 < 0
Die Determinante ist negativ, wie es sich für eine Hyperbel
in statu nascendi gehört.
Nun bewerkstelligen wir die Berührung der Hyperbel mit der x-Achse.
Schnitt mit der x-Achse :setzte y = 0; es entsteht
6 * x ^ 2 + 2 * D * x + F = 0
Wegen der Berührung fordern wir für diese quadratische Gleichung
für x eine Doppellösung, d.h. das Verschwinden der Diskriminante,
Es muss gelten:
4 * D ^ 2 – 24 * F = 0 oder D^2 = 6* F .........................................................(3)
Wie weiter ? Rettende Idee:
Aus Symmetriegründen berührt die Hyperbel auch die am
Mittelpunkt M gespiegelte x-Achse , d.h. die Parallele y = 3
zur x-Achse.
Wir setzen y = 3 in die Gleichung ein und fordern durch
Nullsetzen der entsprechenden Diskriminante wiederum eine
Doppellösung.
Durchführung:
6 x ^ 2 – 60 x + 2 D x + 6 D + F + 54 = 0
6 x ^ 2 - 2 ( 30 – D ) x + 6 D + F + 54 = 0
Diskriminante:
4* [( 30 – D ) ^ 2 – 6 * (6 D + F + 54 ) ] = 0 , daraus:
D ^ 2 - 96 * D + 576 – 6 * F = 0, wegen (3) folgt daraus
D ^ 2 - 96 * D + 576 – D ^ 2 = 0 , somit
D = E = 6 und F = D ^ 2 / A = 6
Die Gleichung der gesuchten Hyperbel lautet in vereinfchter Form:
3 x ^ 2 - 10 x y + 3 y ^ 2 + 6 x + 6 y + 3 = 0
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
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