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Lisi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 10:32: | 
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Der Graph der Funktion f (x) = (x²+ax+b) / (x-2) hat im Punkt P(-1; 2/3) die Steigung 5/9.
a) bestimme daraus die funktionsgleichung.
b) diskutiere die funktion definitionsbereich, nullstellen, lage und art der extrempunkte,wendepunkte......Kann mir bitte wer nur die definitiosmenge erklären wie ich das machen muss das andere hab ich geschafft. N1=(1/0) N2(-2/0) E1=(0/1) E2=(4/9) keine wendepunkte
c)zeige, dass F:x->(x²+6x) / 2 +4 ln (x-2) eine stammfunktion von f ist. Wie mach ich sowas??????????
d) Berechne den flächeninhalt den die funktion f mit der geraden g: y=10 einschließt. Ich hab das versucht zu rechnen aber leider kommt mir nicht die richtige lösung, die 2 wäre, raus. kann mir das bitte wer vorrechnen.
DANKE |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 12:27: |
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Hi Lisi!
Ich habe mal gerade deine Aufgabe angefangen. Folgende Funktion habe ich ermittelt:
f(x)= (x^2+x-2)/(x-2)
Der Definitionsbereich ist eine einfache Sache. Eine Division durch 0 ist nicht definiert. Demzufolge ist die Stelle an der der Nenner Null wird auch nicht für die Funktion definiert. Ansonsten kannst Du alle reellen Zahlen für x einsetzen. ( Bei Funktionen mit einem Wurzelausdruck im Nenner musst du zusätzlich beachten, dass der Radikand nicht negativ wird).
Somit gilt für die Funktion der folgende Definitionsbereich:
D = {x|x e R\{2}}
Da der Zähler nicht an der gleichen Stelle, in diesem Fall für x=2, auch 0 wird, handelt es sich offensichtlich um eine Polstelle und keine Lücke.
Lücken sind hebbar, wenn man den Ausdruck, der Null ergibt in Nenner und Zähler kürzen kann. Man erhält dadurch dann eine "lückenlose" Ersatzfunktion.
Das Verhalten der Funktion in der Nähe der Polstelle muss dann noch untersucht werden. Ich erledige dies, indem ich Werte dicht an der Polstelle (z.B. 1,9999999 und 2,0000001) als Funktionswert in den Taschenrecher eingebe. Grenzwertberechung ist nicht meine Stärke.
Ich hoffe, dass ich dir bis hierhin weiterhelfen konnte. Den Rest der Aufgabe sehe ich mir jetzt an.
MfG
Martin |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 12:44: |
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Hallo Lisi
f(x)=(x²+ax+b)/(x-2)
a) Funktionsgleichung aufstellen
i)P(-1;2/3) liegt auf f => f(-1)=2/3
<=> (1-a+b)/(-1-2)=2/3
<=> (1-a+b)/(-3)=2/3 |*(-3)
<=> 1-a+b=-2
<=> -a+b+3=0
<=> b=a-3
ii) Steigung in P ist 5/9
Also 1. Ableitung bilden:
f'(x)=[(2x+a)(x-2)-(x²+ax+b)*1]/(x-2)²
f'(x)=[2x²+ax-4x-2a-x²-ax-b]/(x-2)²
f'(x)=(x²-4x-2a-b)/(x-2)²
f'(-1)=5/9
<=> (1+4-2a-b)/(-3)²=5/9
<=> 5-2a-b=5
<=> -2a-b=0
<=> b=-2a
b=a-3 und b=-2a gleich setzen:
a-3=-2a
<=> 3a=3<=>a=1
=> b=-2
Also lautet die Funktionsgleichung
f(x)=(x²+x-2)/(x-2)
b) Defintionsmenge
Hier musst du nur beachten, dass der Nenner nicht Null sein darf;
also x-2=0 <=> x=2
x darf also nicht den Wert 2 annehmen;
alle anderen reellen Zahlen sind erlaubt;
=> D=R{2}
c) F(x)=[(x²+6x)/2]+4ln(x-2) ist Stammfunktion von f, wenn gilt F'(x)=f(x);
d.h. du musst die F(x) ableiten; also
F'(x)=[(2x+6)/2]+[4/(x-2)]
=(x+3)+[4/(x-2)]
=[(x+3)(x-2)+4]/(x-2)
=(x²+x-6+4)/(x-2)
=(x²+x-2)/(x-2)=f(x)
d) Schnittpunkte bestimmen:
f(x)=10
<=> (x²+x-2)/(x-2)=10
<=> x²+x-2=10x-20
<=> x²-9x+18=0
=> x1,2=4,5±Ö(4,5²-18)
=4,5±1,5
=> x1=4,5+1,5=6 und x2=4,5-1,5=3
A=ò3 6(10-f(x))
=ò3 6(10-(x²+x-2)/(x-2))dx
=[10x-F(x)]63
=[10x-[(x²+6x)/2]-4ln(x-2)]63
=|60-36-4ln4-(30-13,5+0)|
=1,955 also gerundet 2
Mfg K. |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 13:13: |
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Weiter gehts mit der Lösung von c, zuvor allerdings ein Nachtrag zu b:
Die Asymptote ist der Graph von x + 3.
Bei deiner Funktion handelt es sich um eine unecht gebrochen rationale Funktion, die man mit Hilfe der Polynomendivision in eine ganze Funktion und eine echt gebrochene Funktion zerlegen kann. Die ganze Funktion ist die Asymptote, an die sich die Parabeläste anschmiegen.
(x^2 + x - 2)÷(x - 2) = x + 3 + (4/(x-2))
c.)
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt, dass das Differenzieren die Umkehrung des Integrierens ist und umgekehrt.
Das bedeutet das du die gegebene Stammfunktion F(x) nur differenzieren musst um f(x) zu erhalten, bzw. f(x) integrieren musst um F(x) zu erhalten. Die erste Variante habe ich hier beschrieben:
F(x)= (x^2 + 6x)/2 + 4*ln(x-2) vereinfacht:
F(x)= (1/2)x^2 + 3x + 4*ln(x-2) differenziert:
F'(x)= x + 3 + 4*(1/(x-2)) auf einen gem. Nenner gebracht:
F'(x)= (x*(x-2) + 3*(x-2) + 4)/(x-2) Zähler ausmultipliziert und gekürzt:
F'(x)= (x^2 + x - 2)/(x - 2)
F'(x)= f(x)
Damit wäre bewiesen, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.
Fortsetzung folgt
MfG
Martin |
Lisi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Januar, 2002 - 19:53: |
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Also ich hab noch eine frage dazu:
wie erkenne ich dass es keine wendepunkte gibt? |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Januar, 2002 - 13:34: |
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Hallo Lisi
f(x)=(x²+x-2)/(x-2)
Für die Wendepunkte benötigtst du die 2. Ableitung; also Ableitungen bilden
f'(x)=[(2x+1)(x-2)-(x²+x-2)]/(x-2)²
=[2x²+x-4x-2-x²-x+2]/(x-2)²
=(x²-4x)/(x-2)²
f"(x)=[(2x-4)(x-2)²-(x²-4x)*2(x-2)]/(x-2)4
=[(2x-4)(x-2)-2(x²-4x)]/(x-2)³
=(2x²-4x-4x+8-2x²+8x)/(x-2)³
=8/(x-2)³
Notwendige Bedingung für einen Wendepunkt: f"(x)=0
also hier
8/(x-2)³=0 |*(x-2)³
8=0 Widerspruch
also gibt es keine Wendepunkte.
Mfg K. |
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