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Beitrag |
    
Klaus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2001 - 08:35: | 
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Hallo,
Kann mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen ?
Besten Dank zum voraus.
Beweise für positive Zahlen xi die Ungleichung
(x1+x2+x3 +....+xn) * (1/x1+1/x2+1/x3+…..+1/xn) >= n ^ 2
a) für n = 3 durch eine direkte Methode
b) für ein beliebiges n mit vollständiger Induktion.
MfG
Klaus |
H.R.Moser,mgamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. Dezember, 2001 - 12:02: |
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Hi Klaus,
a)
Die Ungleichung lautet:
(x + y +z) * ( 1/x + 1/y +1/z ) > = 9
Beweis indirekt :
Annahme Das Produkt der beiden Klammern sei
kleiner als 9.
Dann gilt, wie man nach dem Lösen der Klammern feststellt:
x^2* z + x^2 * y + y^2 * z + x*y^2 + y*z^2 + x*z^2 < 6 * x * y * z ,
also
z*( x^2 + y^2 - 2 x y )+y*( x^2 + z^2 – 2x z )+x*( y^2 + z^2 - 2 y z ) < 0
somit :
z* (x – y ) ^ 2 + y * ( x – z ) ^ 2 + x * ( y – z ) ^ 2 < 0
Dies ist aber ein Widerspruch, da nach Voraussetzung bezüglich x , y, z
die linke Seite gewiss nicht negativ sein kann
Damit ist der Spezialfall indirekt bewiesen.
b)
Prüfe etwa n = 2 :Verankerung: in Ordnung !
Vererbung. Wir verwenden die Abkürzungen
A(n) = x1+x2+..+xn, B(n) =1/x1+1/x2+...+1/xn
Die Induktionsvoraussetzung lautet:
A(n)*B(n) > = n^2 .................................................................................(1)
Als Ziel gilt der Nachweis:
A(n +1 ) * B( n +1) > = (n+1) ^ 2 ..........................................................(2)
Wir berechnen das Produkt linkerhand:
A (n+1) * B(n+1) = [A(n) + x{n+1}] * [B(n) + 1 / x{n+1}] =
A(n) * B(n) + x{n+1} * B(n) + 1 / x{n+1} * A(n) + 1
Das Produkt A(n)*B(n) ersetzen wir nach (1) durch den kleinern Ausdruck n^2;
so entsteht die Ungleichung:
A(n+1)*B(n+1)>= n^2 +x{n+1)*[1/x1+1/x2+...+1/xn] +1/x{n+1}* [x1 +..+xn] + 1
= n^2 + [x{n+1}/x1 + x1/x{n+1}] + [ x{n+1}/x2 + x2/x{n+1}]+..........................
+ [x{n+1} / xn + xn / x{n+1}] + 1
Nun ist jede der n eckigen Klammern, wie man leicht herausfindet,
grösser oder gleich 2, sodass schliesslich die folgende Ungleichung entsteht:
A(n+1)* (n+1) > = n ^ 2 + 2 *n + 1 = ( n + 1 ) ^ 2
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damit ist das Ziel (2) erreicht und der Induktionsbeweis erfolgreich abgeschlossen
Anmerkung
Die vorgelegte Ungleichung lässt sich auf die bekannte Aussage zurückführen,
dass das harmonische Mittel der Zahlen x1,...,xn nicht grösser als das
entsprechende arithmetische Mittel ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Klaus
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 10:18: |
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Hallo megamath ,
Besten Dank für den raffinierten Beweis der Ungleichung !
Wann gilt das Gleichheitszeichen ?
Ich nehme an , dass dies genau dann zutrifft, wenn alle xi gleich
sind. Ist das richtig ?
MfG
Klaus |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 29. Dezember, 2001 - 10:34: |
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Hi Klaus,
Deine Bemerkung bezüglich des Gleichheitszeichens
in der Ungleichung ist richtig.
Sie ist der Vollständigkeit halber wohl angebracht ,
und ich danke Dir für diese Ergänzung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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