| Autor |
Beitrag |
    
Thorsten Ehrich
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 20:36: | 
|
Ich benötige einen Lösungssatz, mit dem ich den
Flüssigkeitsstand eines liegenden Zylinders
berechnen kann.
ALs bekannte Größen sind der Durchmesser, die
Füllhöhe und die Länge des Zylinders bekannt.
Ich hoffe jemand kann mir bei der Lösung helfen.
Thorsten |
Justin
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. Dezember, 2001 - 01:29: |
|
Hallo Thorsten,
allgemein gilt ja für das Volumen des Zylinders:
V(Zylinder) = pi/4 * d² * h = pi * r² * h
Da der Zylinder nun aber nicht auf der Grundfläche steht sondern auf der Mantelfläche liegt, wird aus der Höhe h gewissermaßen die Länge l, die Du als bekannt voraussetzt.
Die Füllstandshöhe sei hier mal mit h bezeichnet.
Das Volumen, das es zu berechnen gilt, ergibt sich aus dem Produkt von der Länge des Zylinders und einem Kreisabschnitt, der durch die Füllhöhe charakterisiert ist.
V = l * A(Kreisabschnitt)
Der Kreisausschnitt lässt sich beschreiben als Schnitt einer Sehne durch einen Kreis.
Der entstehende Kreisbogen habe die Länge b, die Sehne die Länge s.
Die halbe(!) Länge s bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Radius des Zylinders und der Differenz aus Radius und Füllhöhe.
(s/2)² = r² - (r-h)² = r² - (r² - 2rh + h²) = 2rh - h²
s/2 = WURZEL(2rh - h²)
s = 2*WURZEL(2rh - h²)
Und nun zur Fläche des Kreisabschnittes.
Diese Fläche entsteht als Differenz: von einem Kreissektor mit Winkel alpha wird ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen r - die Schenkel - und s abgezogen.
A = A(KS) - A(D)
Alpha ist dabei der Winkel, der vom Mittelpunkt des Zylinderkreises aus den Bogen aufspannt.
Und an den Betrag dieses Winkels kommt man mit Hilfe der Sehne, denn es gilt auf Grund des beschriebenen rechtwinkligen Dreieicks aus Sehne, Radius und Differenz aus Radius und Füllhöhe:
s/r = sin (alpha/2)
alpha = 2*arcsin(s/r)
alpha = 2*arcsin(WURZEL(2rh - h²)/r)
Der Kreissektor errechnet sich so:
A(K) = alpha/360 * r² * pi
Die Fläche des Dreiecks ist
A(D) = r²/2 * sin(alpha)
Es ergibt sich:
A = alpha/360 * r² * pi - r²/2 * sin(alpha)
Und last but not least schließlich das Volumen, das sich aus der Füllstandshöhe ergibt:
V = l * (alpha/360 * r² * pi - r²/2 * sin(alpha))
Ich hoffe, es hilft Dir weiter.
Frohe Weihnachten
Justin |
|
