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Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 21:51: | 
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Die nachfolgende Extremwertaufgabe ist auf den ersten Eindruck eine einfache Sache, doch ....
Die Summe eines Kreises mit dem Radius r und eines Quadrates mit der Kantenlänge a betrage 20.
Bestimmen Sie die Werte von a und r so, dass die Gesamtfläche von Kreis und Quadrat minimal wird.
Beim Rechnen bekam ich allerdings Schwierigkeiten, die Exponenten noch im Überblick zu behalten, so dass ich mich frage, ob mein Ergebnis richtig ist.
r= sqrt((5/2)*sqrt(pi^3))
Es wäre super, wenn mir jemand das Ergebnis überprüfen könnte. Es würde mir bei meiner Klausurvorbereitung helfen.
Viele Grüße und ein frohes Fest
Martin |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 11:53: |
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Hallo Martin,
Diese Angaben sind völlig verwirrend.
Was soll denn die Summe eines Kreises und eines Quadrates sein? |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 12:29: |
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Du hast völlig recht. Es ist der Umfang gemeint. I'm sorry.
MfG
Martin |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 13:41: |
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Hallo Martin,
Ich erhalte: r = 10/(4+p)
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Schreib doch deinen Rechnungsweg mal auf.
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chef
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 14:43: |
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U=2*Pi*r+4a
A=Pi*r²+a²
U=20
20=4a+2*Pi*r => a=(10-Pi*r)/2
A(r)=Pi*r²+1/4*(10-Pi*r)²
A'(r)=2*Pi*r+1/4*2*(10-Pi*r)*(-Pi)
=2*Pi*r-1/2*Pi*(10-Pi*r)
A'(r)=0
2*Pi*r-5*Pi+1/2*Pi²*r=0 I *2/Pi
4*r-10+Pi*r=0
r=10/(4+Pi)
siehe Fern... |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 15:18: |
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Hallo Fern!
Vielen Dank für deine Unterstützung. Ich habe die Aufgabe noch zweimal durchgerechnet und nun habe ich auch das gleiche Ergebnis herausbekommen.
Hier mein Lösungsweg ( vielleicht gibt's ja noch ne bessere Möglichkeit):
A(r,a)= pi * r^2 + a^2 minimal
Nebenbedingung:
20 = 2*pi*r + 4*a <=>
a^2 = 1/4 (pi^2*r^2 -20*pi*r + 100)
Eingesetzt in A(r,a):
A(r) = 1/4 ((4*pi + pi^2)*r^2 - 20*pi*r + 100)
A'(r) = (2*pi + (1/2)*pi^2)*r - 5*pi
A'(r) = 0 =>
r= 5/(2 + (1/2)*pi)
Und das sieht doch ziemlich genau wie dein Ergebnis aus. Ich hoffe du verstehst, dass ich mir erst noch einmal selbst den Kopf darüber zerbrechen wollte, anstelle es mir "vorkauen" zu lassen. Danke also nochmals für deine Hilfe, denn sonst hätte ich meine Rechnung selbst nicht prüfen können.
MfG
Martin |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 15:22: |
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Hey klasse! Nun kann ich selbst vergleichen.
Danke Chef!!!
MfG
Martin |
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