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Parabel: drei Kurvennormalen durch ei...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Sonstiges » Parabel: drei Kurvennormalen durch einen Punkt « Zurück Vor »

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Simi
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Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 17:52:   Beitrag drucken

Hallo,

Die Punkte P1(1/2)und P2(9/6) liegen auf der Parabel c,
Gleichung y^2 = 4x .Die Parallele zu P1 P2 durch den Scheitel
wird mit c im Punkt Q geschnitten.
P3 ist derjenige Punkt auf c, der durch Spiegelung von Q an der
Parabelachse hervorgeht.
Man weise nach, dass die drei Kurvennormalen durch P1,P2,P3
durch einen Punkt P gehen.
Gilt die Beziehung allgemein ?
Kann mir jemand einen Beweis vorführen; dafür wäre ich
wirklich dankbar !

MfG
Simi
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 21:01:   Beitrag drucken

HI Simi,

Steigung m von P1 P2 : m = ( 6 – 2 ) / ( 9 – 1 ) = ½
Gleichung der Parallelen g zu P1 P2 durch O: y = ½ x
Schnittpunkt Q von g mit der Parabel : Q(16/ 8).
Spiegelpunkt P3 von Q bezüglich der x-Achse (Parabelachse)
P3(16 / -8 ).
Implizite Differentiation der Parabelgleichung nach x:
2 * y * y` = 4 , daraus y` = 2 / y
Steigung der Parabelnormalen dazu entgegengesetzt reziprok,
also
Steigung m einer solchen Normalen:
m = - y / 2

Für P1 kommt m = - 2 / 2 = - 1 ;
Gleichung der zugehörigen Normalen n1: y = - x + 3 , beachte, dass n1 durch P1 geht

Für P2 kommt m = - 6 / 2 = - 3 ;
Gleichung der zugehörigen Normalen n2: y = - 3 x + 33 , beachte, dass n2 durch P2 geht

Für P3 kommt m = 8 / 2 = 4 ;
Gleichung der zugehörigen Normalen n3: y = 4 x -72 , beachte, dass n3 durch P3 geht

n1 und n2 schneiden sich in P( 15 / -12),durch diesen Punkt geht auch n3.

Es ist zu vermuten, dass der Satz allgemein gilt, d.h. für eine
beliebige Parabel und zwei beliebig vorgegebene Punkte auf ihr.
Ein Beweis dazu ist in Vorbereitung !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 11:14:   Beitrag drucken

Hi Simi,

Bevor ich Dir einen Beweis des allgemeinen Satzes
vorführe, zeige ich Dir ein spezielles numerisches Beispiel
Für dieselbe Parabel y ^ 2 = 4 x gelte
P1(1/2), P2(4/4).
Daraus erhalten wir Q(9/6) und P3(9/-6).
Die Gleichungen der Kurvennormalen ni in den Punkten Pi
sind:
n1: y = - x + 3
n2: y = - 2 x + 12
n3 : y = - 3 x + 21

Der Schnittpunkt P von n1 und n2 hat die Koordinaten
xP = 9 , yP = - 6.
Das sind gerade die Koordinaten des Punktes P3 !
Somit ist P3 in diesem Sonderfall der Schnittpunkt der drei
Kurvennormalen; dies entspricht dem Wortlaut des Satzes.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser ,megamath
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Simi
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Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 11:32:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath

Für die schöne Lösung möchte ich Dir danken:
Ich interessiere mich sehr für einen Beweis des
allgemeinen Satzes

MfG Simi
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 17:56:   Beitrag drucken

Hi Simi,

Es folgt eine erste Beweismethode, in welcher
ausgiebig gerechnet wird und in der sich erst ganz am
Schluss alles in Minne auflöst.
Eine zweite Methode, die ich ev. später vorfühe, ist eleganter,
erfordert aber mehr Denkarbeit.

In Teil A] wird der Schnittpunkt S der Parabelnormalen n1,n2
in den Punkten P1, P2 der Parabel y ^ 2 = 2 p x ermittelt.

In Teil B} bestimmen wir den Punkt P3 nach der Vorschrift
des Aufgabentextes.

In Teil C] wird gezeigt, dass die Normale n3 in P3 für jede
Wahl der Punkte P1, P2 durch S geht.

Teil A]
Die PunkteP1(x1/y1),P2(x2/y2) auf der Parabel
Aus y1^2 = 2p x1 folgt x1 = y1^2 / 2p
aus y2^2 = 2p x2 folgt x2 = y2^2 / 2p
Die erste Ableitung y` ist y` = p/y; damit erhalten wir für
die Steigungen m1 und m2 der Normalen n1,n2:
m1 = - y1 / p , m2 = - y2 / p-
Gleichungen dieser Normalen :
n1 : y - y1 = m1 (x – x1) = - y1 / p * ( x – x1 )
n2 : y - y2 = m2 (x – x2) = - y2 / p * ( x – x2 )
Gleichsetzung der y-Werte gibt den x-Wert des Schnittpunktes
xS von n1 und n2 ; es ergibt sich:
xS = p + [x2y2 – x1y1] / [y2-y1] = p+[y2^3-y1^3] / [2p ( y2-y1)]
Der letzte Bruch kann mit der Differenz y2-y1 gekürzt werden;
es kommt:
xS = p + 1 / (2 p) * [y1^2 + y1*y2 + y2^2],……………………….(1)
daraus :
yS = y1–y1 – 1/(2p^2)*y1*y2^2 -1/(2 p^2)*y1^2*y2
- 1 / (2p^2) * y1^3 + 1 / (2p^2)* y1^3 ; vereinfacht :
yS = - 1 /(2 p ^2) * y1 * y2 * ( y1 + y2 )………………………….(2)

Teil B]
Steigung von P1P2 :
m = (y2-y1) / (x2-x1) = [2p*(y2 - y1)] / [ y2 ^ 2 - y1 ^ 2 ]
gekürzt mit y2 – y1 gibt
m = 2 p / (y1 + y2 )
Schnittpunkt Q von y = mx mit y^^2 = 2 p x:;
Gleichsetzung der x-Werte : y /m = y^2 / (2p) gibt zuerst.
yQ = (2p)/m ,dann xQ = (2p)/ m^2, daraus nach Aufgabentext:
x3 = xQ = [2 p*(y1+y2)] / [4 p^2] = (y1 + y2 ) ^2 (2p)
y3 = - yQ = - ( y1 + y2 )

Teil C ]
Gleichung von n3 :
y – y3 = - y3 / p * (x – x3) :
Wir setzen xS und yS aus (2) ein und stellen fest, dass eine
Identität entsteht.
yS – y3 = - y3 / p * (xS – x3) ...................................................( ?)
Wir werten die linke Seite L aus und erhalten :
L = - 1 / (2 p^2) * y1* y2* ( y1 + y2) + (y1 + y2) =
= 1 /(2p^2) * y1 * y2 * y3 – y3
rechte Seite R :
R = - y3 / p * xS + x3 * y3 / p = y3 / p * [- xS + x3] =
y3 / p* [- p – 1/(2p) * (y1^2 + y1* y2 + y2^2) + 1/ (2p) *(y1+y2)^2]
= y3 / p* [ - p +1/(2p) * (y1*y2) ] = - y3 + 1/(2p^2) * y1* y2 * y3 = L
R stimmt mit L überein, w.z.z.w.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 10:06:   Beitrag drucken

Hi Simi,

In der von mir erwähnten zweiten Beweismethode des
Satzes über drei Parabelnormalen leistet das folgende
Kriterium, das ich Dir nicht vorenthalten möchte,
nützliche Dienste:
Die drei Normalen n1,n2,n3 in den Punkten
P(x1/y1),P2(x2,y2),P3(x3/y3) aif derParabel y^2 = 2px
gehen genau dann durch einen Punkt S(xS/yS),
wenn die folgenden drei Relationen zugleich erfüllt sind

1. y1 + y2 + y3 = 0
2. y1*y2 + y2*y3 + y3*y1 = 2 * p^2 –2 p*xS
3. y1 * y2 * y3 = 2 * p^2 * yS

Einige dieser Terme sind auch im rechnerischen Beweis,
den ich Dir vorführte, zwanglos aufgetreten.

Empfehlung:
Ueberprüfe das Kriterium an den beiden Zahlenbeispielen,
die am Anfang für die Parabel y ^ 2 = 4 x ( p = 2 )
durchgerechnet wurden .

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Simi
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Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 13:36:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath

Vielen Dank für Deine interessanten Beiträge
zu meinen Fragen.
Ich habe sehr davon profitiert.
Eine Herleitung des Kriteriums würde mich interessieren
Darf ich Dich um eine entsprechende Antwort bitten ?

MfG

Simi
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Sonntag, den 23. Dezember, 2001 - 14:28:   Beitrag drucken

Hi Simi,

Für eine Herleitung des erwähnten Kriteriums eignet
sich eine Parameterdarstellung der Parabel y ^2 = 2 p x
besonders gut:
Mit t als Parameter und a = ½ p lautet eine solche Darstellung:
x = a t ^ 2 , y = 2 a t .
Wir ermitteln die Ableitung y` als Quotient der Ableitungen
von y = y(t) nach t und von x = x(t) nach t ; es kommt:
y` = 2 a / ( 2 a t ) = 1 / t .
Die Steigung m einer Parabelnormalen ist dazu
entgegengesetzt reziprok, also:
m = - t ( damit ist auch die geometrische Rolle des
Parameters t geklärt ) .
Die Gleichung einer Normalen n der Parabel, welche zum
Parameterwert t gehört, lautet somit:
y – 2 a t = - t * (x – a t ^ 2)oder
t * x + y = 2 a t + a t ^ 3 ; nun ersetzen wir t durch – m
und erhalten als Gleichung der Normalen mit der Steigung m
als Parameter.
y + m ( 2 a – x ) + a m ^ 3 = 0
Soll diese Normale durch den Punkt S(xS/yS) gehen, muss gelten :
a m ^ 3 + ( 2 a –xS ) m + yS = 0 ;
es liegt eine kubische Gleichung für m vor !
Wir schliessen :

Durch jeden Punkt der (x,y)-Ebene gehen drei Parabelnormalen,
die nicht alle drei zugleich reell zu sein brauchen.

Nun wählen wir einen Fusspunkt Po(xo/yo) einer Normalen
auf der Parabel aus, setzen demnach yo = 2 a t = - 2 a m und
ersetzen m in der letzten Gleichung durch – yo / (2a);
wir erhalten nach einer kleinen, harmlosen Rechnung:
yo ^ 3 + 4 a ( 2 a - xS ) * yo – 8 * a ^ 2 yS = 0
Schreibt man für diese kubische Gleichung in yo
für die Lösungen y1,y2,y3 die drei Vietaschen Formeln an
und ersetzt darin noch a durch p/2 , so erhält man
die drei Formeln des Kriteriums.

Damit ist die gewünschte Herleitung in groben Zügen erledigt.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Montag, den 24. Dezember, 2001 - 13:32:   Beitrag drucken

Hi Simi,

Deine Aufgabe ist eine ergiebige Quelle weiterer Erkenntnisse.
Wir benützen das bisher Gelernte dazu, für die Parabel
y^2 = 2 p x
in einem beliebigen vom Scheitel O verschiedenen Punkt
P1 (x1/y1) das Krümmungszentrum Z zu ermitteln.
Als Grundidee dient uns die folgende Auffassung :

Das Krümmungszentrum eines Kurvenpunktes ist die Grenzlage
des Schnittpunktes S der Kurvennormale mit einer benachbarten
Kurvennormalen, wenn sich diese der ersten unbegrenzt
(infinitesimal) nähert.
Wir werden daher im Folgenden den Punkt P2,der in den früheren
Ausführungen eine selbständige Rolle spielte, mit P1 identifizieren ,
d.h. wir lassen P2 mit P1 zusammenfallen; aus der Sekante P1 P2
wird die Tangente t in P1.

Für den Scheitelpunkt gilt bekanntlich:
der zugehörige Krümmungsradius stimmt mit dem Parameter p
der Parabel überein.

Als numerisches Beispiel verwenden wir den Punkt P1(1/2)
auf der Parabel y ^ 2 = 4 x ; P2 identisch mit P1

1.Methode

Gleichung der Tangente t in P1: y = x + 1
Gleichung der Normalen n1 in P1: y = - x + 3
Gleichung der Parallelen g zu t durch O : y = x
Schnittpunkt Q von g mit der Parabel: Q( 4 / 4 ).
Spiegelpunkt P3 zu Q bezüglich der x-Achse:P3: Q( 4 / -4 );
Parabelnormale n3 in P3: y = - ½ x – 2
Krümmungszentrum Z als Schnittpunkt von n1 und n3
Z( 5 / -2 )
°°°°°°°°°

2.Methode
Verwendung des in einer früheren Arbeit hergeleiteten Kriteriums:
gegebene Daten :
y1 = y2 = 2
gesucht : y3 , xZ = xS , yZ = yS
Aus der ersten Gleichung
y1 + y2 + y3 = 0 folgt y3 = - 4
Aus der zweiten Gleichung
y1 y2 + y2 y3 + y3 y1= 8 – 4* xS folgt xS = xZ = 5
Aus der dritten Gleichung
y1 y2 y3 = 8*yS folgt yS = yZ = - 2 wie bei der ersten Methode.

3.Methode
In dieser althergebrachten Methode verwenden wir die Funktion
y = 2 * wurzel(x) , welche die obere Halbparabel darstellt
und die erste und zweite Ableitung von y , nämlich:
y` = 1/ wurzel(x) und y``= - ½ * x ^ (-3/2).
Wir erhalten die y – Koordinate von Z mit der Formel
yZ = y(1) + [ 1 + (y` ) ^ 2 ] / y`` = - 2 wie soeben
(auch die Ableitungen sind an der Stelle x1 = 1 zu nehmen).

Ich glaube, damit ist das Thema erschöpfend behandelt !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Simi
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. Dezember, 2001 - 11:23:   Beitrag drucken

Hallo

Herzlichen Dank an H.R.Moser,megamath,für seine
höchst anregenden Arbeiten über Parabelnormalen.
Ich habe viel neues dazu gelernt !

Simi


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