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Dirk21
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 08:24: | 
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Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen ,und mir Schritt für Schritt dies erklären,wie ich zum Erbebnis komme.Danke für eure Mühe.
Einem geraden Kreiskegel mit dem Radius r und der Höhe h soll ein Kreiszylinder mit möglichst großem Volumen eingeschrieben werden!
MfG
Dirk |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 15:22: |
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Hallo Dirk!
Was hat diese Aufgabe mit Integralrechnung zu tun?
Naja, trotzdem hier die Anleitung zur Lösung:
Im folgenden erhalten die Größen des Kegels große Buchstaben (H, R), die des einbeschriebenen Zylinders kleine (r, h).
Eine gute Skizze ist das erste wichtige Hilfsmittel; am besten ist hier eine Querschnittszeichnung (Kegel als Dreieck, Zylinder als Rechteck darin).
Die Extremalbedingung lautet nun:
V(h,r) = pi * r² * h
Das Zylindervolumen hängt also von r und h ab, man benötigt eine geeignete Nebenbedingung, um eine Variable eliminieren zu können. Festzuhalten ist, dass H und R bekannt sind. Die nötige Beziehung zwischen h und r ist hier nicht sehr leicht zu finden; man bekommt sie über die Dreieckfläche; diese kann nämlich auf zwei Arten ausgedrückt werden:
1.) Das große Dreieck direkt:
A = R * H
2.) Das große Dreieck als Summe der Trapezfläche unten und des oberen kleinen Dreiecks:
A = (R+r)*h + r*(H-h)
Die beiden Ausdrücke für die Fläche können gleichgesetzt werden und man erhält folgende Nebenbedingung (nach h umgeformt):
h = H/R * (R-r)
Dieses h wird in die Extremalbedingung eingesetzt und man erhält eine Funktion, die nur noch von r abhängt. Nach Ableiten, Nullsetzen und Überprüfen durch die zweite Ableitung erhält man
rmax = 2/3 * R
Dieser Wert in die Volumenfunktion eingesetzt ergibt ein Volumen von
Vzyl = 4/27 * pi * R² * H
Dieses Volumen ins Verhältnis zum Kegelvolumen gesetzt ergibt eine Raumausnutzung von 44,4%.
MfG, Integralgott |
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