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Dirk21
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 08:21: | 
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Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen ,und mir Schritt für Schritt dies erklären,wie ich zum Erbebnis komme.Danke für eure Mühe.
Der Querschnitt eines 25m langen Tunnel besteht aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.Der Umfang des Querschnitts beträgt 18m.Wie ist der Radius r zu wählen,damit das Volumen des Tunnels möglichst groß wird?
MfG Dirk |
Allmut
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 11:57: |
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Lieber Dirk,
ich bin noch nicht dahintergekommen, aber Du meinst sicher nicht das Volumen, sondern die Fläche des Querschnitts - sonst wäre die Länge des Tunnels noch erheblich.
Auf jeden Fall ist r = a/2.
Dann habe ich folgende Gleichungen:
U=18m=a+2b+r*pi
A=a*b+pi/2*r²
Beim Gleichsetzen komme ich nicht weiter - tut mir leid.
Man könnte natürlich auch nach a auflösen:
a=18-2b-r*pi, aber auch nach Einsetzen von a in die andere Gleichung hakt es bei mir.
Gruß A. |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. Dezember, 2001 - 12:36: |
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Hallo Dirk
da der Tunnel eine festvorgegebene Länge hat, ist das Volumen nur von der Querschnittsfläche abhängig.
Für den Umfang gilt
U=18=a+2b+pi*r, wobei r=a/2; also
18=a+2b+pi*(a/2)
<=> 2b=18-a-(pi*a)/2
<=> b=9-(a/2)-(pi*a)/4
Für die Querschnittsfläche gilt:
A=a*b+(1/2)*pi*r² mit r=a/2 folgt
A=a*b+(1/2)*pi*(a²/4)=a*b+(a²*pi)/8
mit b=9-(a/2)-(pi*a)/4 folgt weiter
A(a)=a(9-(a/2)-(pi*a)/2)+(a²*pi)/8
=9a-(a²/2)-(pi*a²)/2+(pi*a²)/8
=9a-(a²/2)-3(pi*a²)/8
A'(a)=9-a-(3/8)*pi*2a=0
72-8a-3pi*a²=0
<=> 3pi*a²+8a-72=0 | : (3*pi)
<=> a²+8/(3pi)a-24/pi=0
=> a1,2=-4/(3pi)±Ö[16/(9pi²)+24/pi]
=-0,4244±2,7963=2,372
=>b=5,951
und r=1,186
Mfg K. |
Allmut
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Dezember, 2001 - 12:02: |
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Lieber K.,
Deine Lösung ist gut nachvollziehbar. Ich hatte einiges nicht erkannt. Die Länge des Tunnels stand ja auch in der Aufgabe - immer genau lesen, muß ich mir immer wieder sagen.
Gruß A. |
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