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Beitrag |
    
Thomas Steuer
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. März, 2000 - 20:23: | 
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So ein Mist, da krieg ich doch heute ne Mathe-Aufagebe zu Freitag auf, muß aber bis Freitag noch mein Info-Projekt fertig kriegen.
Die Aufgabe besteht aus 3 Unteraufgaben, die Hauptfkt. lautet: f(x)= 1-e[hoch 2-x];
Wenn Sie mir bis Donnerstag abend helfen können, senden Sie mir bitte eine e-Mail Adresse, an die ich die Aufgabe schicken kann (gescanned im jpg-Format)
Vielen Dank, Thomas. |
Bodo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 08. März, 2000 - 22:37: |
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Hi Thomas,
Du kannst die Aufgabe auch hier einfügen:
Einfach in den Text \image{bild} hineinschreiben, dann wirst Du beim Nachricht senden nach dem Dateinamen (auf PC) gefragt und kannst das Bild uploaden. Aber Achtung, benenne die Datei vorher in .jpeg (kein Schreibfehler) um , sonst nimmt er sie nicht. Und schau, das sie nicht größer als 150kb ist.
Dann schauen wir mal rein, ok?
Bodo |
Thomas Steuer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 09:57: |
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c:
 kurvendiskusion.jpeg |
Thomas Steuer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 10:02: |
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So, danke für den Tip mit dem Upload, hatte ja keine Ahnung. Hoffentlich ist da was zu machen, ich bin ein hoffnungsloser Fall. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 15:42: |
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Hi Thomas,
Deine Aufgabe ist recht aufwendig ; lasst uns beginnen
a) Schnittpunkt P mit x-Achse: y = 0 gibt x = 2 aus e ^ ( 2 - x ) = 0
Schnittpunkt Q mit y-Achse x = 0 gibt y = 1 - e ^ 2 = - 6.39
Steigungen aus der Ableitung y' = e ^ (2 - x ) , daraus Steigungen in P und Q :
mP = y ' ( 2 ) = e ^ 0 = 1 ( Richtungswinkel mit x-Achse 45 ° )
mQ = y' ( 0 ) = e ^2 = 7.39
Da die Ableitung y' (x) nie null wird , gibt es keine Extrema
Die Parallele zur y-Achse im Abstand 1 mit der Gleichung y = 1 ist Asymptote von K, weil lim y = 1 gilt, wenn x gegen + unendlich strebt.
b) Da wir die Fläche zwischen der Asymptote y = 1 und K berechnen müssen , bilden wir
die Differenz d (x) zwischen y = 1 und y = f(x) ; wir erhalten d(x) = 1 - f(x)
= 1 - ( 1 - e ^ ( 2 - x )) = e ^ ( 2 - x). Da wir d(x) integrieren müssen , ermitteln wir eine
Stammfunktion D(x) zu d(x) , es ergibt sich sofort D(x) = int ( d(x)*dx ) =
e ^ ( 2 - x) . Für die Fläche A(z) ist als untere Grenze null und als obere Grenze z einzusetzen, also A(z) = D( z ) - D ( 0 ) (Achtung auf das Vorzeichen ! )
Wir erhalten A( z ) = e ^ 2 - e ^ ( 2 - z ).
Der Grenzwert von A(z) für z gegen unendlich ist e ^ 2 wie man sofort erkennt , denn
e ^ ( 2 - z ) strebt gegen null für z gegen unendlich.
Fortsetzung folgt später |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 17:53: |
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Hi Thomas,
Fortsetzung 2.Teil der Aufgabe b) :
Für den Punkt B berechnen wir den y-Wert yB und die Steigung mB der Tangente t ;
es kommt yB = 1 - e ^(2 - b) ; der Ableitung f ' (x) = e ^ ( 2 - x) entnehmen wir mB = f ' ( b ) = e^ (2 - b) . Damit stellen wir die Gleichung von t auf :
y - yB = m B * ( x - x B ) , also
y - 1 + e ^ (2 - b ) = e ^ ( 2 - b) * ( x - b ) ; diese Gerade ist mit der Asymptote y = 1 zu schneiden. Wir setzen y = 1 in die Tangentengleichung ein und erhalten der Reihe nach:
e ^( 2- b) = e^ ( 2- b)*(x-b) oder x - b = 1 , d.h. x = b + 1 , der x-Wert des Schnittpunktes S der Tangente t mit der Asymptote y = 1.
Aus diesem einfachen Resultat leiten wir die folgende Tangentenkonstruktion im Punkt B der Kurve K her:
Wir schneiden die Parallele zur y-Achse durch B mit der Asymptote (Parallele zur x-Achse im Abstand 1 ) im Punkt B* : Von B* aus tragen wir auf der Asymptote die Strecke s = 1 ( nach rechts ) ab , der Endpunkt dieser Strecke der Länge 1 ist der Schnittpunkt S , den wir mit B verbinden , um damit die gesuchte Tangente t zu erhalten.
Fortsetzung folgt ! |
Thomas Steuer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 18:32: |
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Du bist ja einfach unglaublich, ich bin jetzt schon mehr damit beschäftigt mir eine Gegenleistung zu überlegen, als die Aufgabe mit meiner Handschrift zu versehen. Da wird wohl ein kleines Honorar (was im Bereich meiner finanziellen Schülermöglichkeiten liegt) fällig sein. Mach ich gern, denn Du bist dabei mich zu retten. Mach nicht schlapp, ich brauch Dich !!! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 18:45: |
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Hi Thomas,
Fortsetzung Teil c)
Wachstum 2,1% per annum bedeutet für unsere Exponentialfunktion g(t) :
e ^ k - e ^ 0 = 2,1 /100 = 0.021, daraus berechnen wir: e ^ k = 1.021 , k = ln 1.0121 = 0.02078
Die Wachstumsfunktion lautet demnach ( t in Jahre) : g(t) = 2.75 * e ^ (0.02078 * t)
Für t = 20 erhalten wir damit g(20) = 2.75 * e^ (20*k) = 4.167 Mia t,
für t = 40 kommt g(40) = 2.75 * e^ (40*k) = 6.315 Mia t.
Bestimmung von p, q, r für die Funktion h(t) .
Für t gegen unendlich geht h(t) gegen p; andrerseits ist dieser Grenzwert nach dem Text 4.17; wir schliessen daraus sofort : p = 4.17.
Für q erhalten wir die Gleichung 2.75 = p - e^q = 4.17 - e^q , somit e^q = 4.17-2.75=1.42 ,
q = ln 1.42 = 0.351 , schliesslich r aus der Gleichung 2.80775 = 4.17 - e ^( q- r) , (Zunahme um 2.1% führt auf 2.75 * 1.021 = 2.80775) , also e^ (q-r) = 4.17 -2.80775 = 1.36225 oder schliesslich q - r = ln 1.36225 = 0.30932 oder r = q -0.30932 = 0.042 Somit lautet die Funktion h(t) endgültig :
h(t) = 4.17 - e ^ ( 0.351- 0.042 * t ) Durch Einsetzen gewinnt man folgende
Resultate: t = 20: h(20) = 3.557 Mia t ; t = 40 : h(40) = 3.905 Mia t
Das genügt wohl ! Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 19:07: |
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Lieber Thomas,
Danke für die Blume !
Zuallererst ist anzumerken, dass die Helfer im Forum in allererster Linie Idealisten sind.
Im weiteren suchen wir vielleicht auch, uns selber zu bestätigen, indem wir versuchen
- meistens mit Erfolg - den Aufgabenstellern auf die Schliche zu kommen.
An Stelle irgend eines Honorars beanspruche ich höchstens ein kleines Verdienstkreuz in Anerkennung der Hilfestellung an arme geplagte Mathe-Schüler.
Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser |
Thomas Steuer
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 09. März, 2000 - 19:35: |
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Lieber Hans Rudolf,
Ich stehe für immer in Deiner Schuld. Vielen, vielen Dank, dass Du Dich so schnell um mein Problem gekümmert hast. Du bist echt Klasse ^1000 !!!
In Hochachtung, Dankbarkeit & mit freundlichen
Thomas Steuer. |
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