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Beitrag |
    
m.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 18:39: | 
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hi
gesucht ist der extremwert eines dreiecks. der umfang ist 200m und eine seite davon 60m. wie groß müssen die anderen beiden seiten sein, um den größt möglichen flächeninhalt zu bekommen?
danke schon mal im voraus
gruß miriam |
Bier König (Bierkönig)
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 17:36: |
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Hi!
Ich versuche mal, dir ein bißchen weiterzuhelfen, weil anscheinened tut's ja sonst keiner... *g*
Angenommen, die Seite a = 60m sei fest.
Bleiben noch die restlichen beiden Seiten.
Der Satz des Pythagoras sagt:
a² + b² = c²
Das bedeutet, daß c die Hypothenuse ist, und somit müssen a und b jeweils kleiner sein als c.
a hat die Länge 60m. Die restlichen 140m müssen auf b und c aufgeteilt werden, so daß c mindestens genau so groß ist wie b, also
c >= b
==> c >= 70
==> b <= 70
Sei h die Höhe des Dreiecks.
Die Fläche eines daraus beliebigen Dreiecks ist
A = 1/2 * 60 * h = 1/2 * 60 * Wurzel(60²+b²)
wobei b die Länge der 2. Kathete ist.
Nach dieser Formel wächst die Fläche mit steigendem b.
b soll möglichst groß sein, aber, wie oben gesagt, maximal 70. Also legen wir b = 70 fest.
Damit wäre
a = 60
b = 70
c = 200 - (a + b) = 70
und die maximale Fläche des Dreiecks wäre 2765,86 m².
Mathematisch gesehen könnte man das alles sicher besser nachweisen, und sicher kann man es auch irgendwie anders berechnen, aber ich hab's probiert...
Ciao! |
Justin
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 19:09: |
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Hallo Bierkönig,
Deine Lösung gefällt mir auch, nur mit dem Lösungsweg habe ich so meine Probleme.
Du bist vom Satz des Pythagoras ausgegangen, der gilt aber nur für rechtwinklige Dreiecke.
Du kannst aber aus 200m Umfang und einer festen Seite von 60m eine ganze Menge Dreiecke konstruieren, die nicht rechtwinklig sind.
Leider habe ich da auch noch keinen richtigen Lösungsweg gefunden :-)
Bis dann
Justin |
m.
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 19:36: |
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hallo
danke für deine hilfe. aber kann es sein, dass es mit dem pythagoras nicht ganz stimmt?
60^2+70^2=70^2 ???
gruß meli |
K.
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 20:35: |
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Hallo Meli
U=200=a+b+c
sei nun a=60 dann folgt 200=60+b+c
<=> b+c=140
<=> c=140-b
Für den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks gilt die Formel
A=Ö[U/2*(U/2-a)(U/2-b)(U/2-c)]
=Ö[100(100-60)(100-b)(100-140+b)]
=Ö[100*40(100-b)(b-40)]
=Ö[4000(100b-b²-4000+40b)]
=Ö[4000(140b-b²-4000)]
A'=(4000(140-2b))/(2*Ö[4000(140b-b²-4000)]=0
<=> 4000(140-2b)=0
<=> 140-2b=0
<=> 2b=140
<=> b=70
=> c=140-70=70
Die anderen beiden Seiten müssen also jeweils 70m lang sein.
Mfg K. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 20:38: |
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Hi Miriam,
Die gegebene Seite sei die Strecke c = AB = 60 m
Die dritte Ecke sei C.
Damit der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal wird,
muss das Dreieck gleichschenklig sein mit AB als Basis.
(Begründung im Anhang).
Die gleichlangen Schenkel CA und CB messen je 70 m
Das gibt nach Pythagoras die Höhe
hc = wurzel (70^2 - 30^2) = wurzel(4000) = 20*wurel(10) m
Die maximale Fläche ist F=½*c*hc = 600*wurzel(10) = 1897,37 m^2
Anhang folgt !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H,R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 21:24: |
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Hi miriam,
Anhang
Herstellung einer so genannten Gärtnerellipse.
Wir befestigen die beiden Enden einer Schnur der Länge
s = 140 Einheiten in den Punkten A bezw. B, deren
Abstand c = 60 Längeneinheiten beträgt ,
welche die Rolle von Setzhölzern übernehmen.
Die straff gespannte Schnur läuft über den Pflock P,
dessen geometrischer Ort eine Ellipse ist., denn
die Summe der Abstände des laufenden Punktes P von den
festen Punkten A und B ist gleich der Konstanten s.
Daten der Ellipse
A,B sind die Brennpunkte,
die Strecken PA, PB die Brennstrahlen
½ * s = 70 ist die grosse Halbachse u
½ *c = e = 30 ist die so genannte lineare Exzentrizität der Ellipse
Der Mittelpunkt M der Strecke AB ist zugleich der Mittelpunkt
der Ellipse.
Die Gerade AB schneidet die Ellipse in der Hauptscheiteln
P und Q, welche je den Abstand u von M haben.
Auf seiner Wanderung auf der Ellipse kommt der Punkt P
auch einmal zum höchsten Punkt C, einem der Nebenscheitel
der Ellipse.
Gerade in diesem Moment ist der Flächeninhalt des Dreiecks PAB
am grössten !
Die Höhe hc dieses maximalen und gleichschenkligen Dreiecks ist
die Nebenachse b der Ellipse; es entsteht
hc^2 = b^2 = u^2 – e^2 = 70^2 – 30^2 = 4000
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
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