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Anton
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 15:42: | 
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Ich brauche nochmal dringend Hilfe!
Es geht um das Verhalten gebrochen-rationaler Funktionen für x-> + unend. bzw. x-> - unend.
Was hat das alles mit dem Grad des Nenner- bzw. des Zählerpolynoms zu tun und wie bestimmt man die Asymptoten dazu?
Könntet ihr mir dies leicht und verständlich erklären und Beispiel dazu geben? |
Justin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 19:02: |
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Hallo Anton,
zwei Beispiele für eine gebrochen rationale Funktion
f(x) = (x³ + 5) / (x² - 3)
g(x) = (x² - 3) / (x³ + 5)
Der geübte Mathematiker sieht sofort, dass f(x) für x=>unendlich ebenfalls unendlich wird. g(x) dagegen läuft für x=> unendlich gegen NULL.
Bei f(x) hat das Zählerpolynom einen höheren Grad, daher wächst der Zähler viel schneller als der Nenner. g(x) dagegen hat im Nenner den höheren Grad. Und da der Nenner schneller wächst als der Zähler, läuft g(x) im unendlichen gegen NULL.
Diese Grenzwertbestimmung läuft so ab:
f(x) = (x³ + 5) / (x² - 3)
die beiden Polynome werden durch das Glied beider Gleichungen mit dem höchsten Grad dividiert.
Das ist in dem Fall x³
f(x) = (1 + 5/x³) / (1/x - 3/x³)
Lässt man x nun gegen PLUS unendlich laufen, strebt das Zählerpolynom dem Wert 1 zu, das Nennerpolynom läuft gegen NULL.
Also ist der Grenzwert PLUS enendlich.
Für x gegen MINUS unendlich passiert das gleiche, nur dass der Wert des Nennerpolynoms ein negatives Vorzeichen hat.
Der Grenzwert ist hier MINUS unendlich.
Bei g(x) = (x² - 3) / (x³ + 5)
ist das Zählerpolynom kleiner als das Nennerpolynom.
Durch das Glied mit dem höchsten Grad dividiert, also x³ ergibt sich
g(x) = (1/x - 3/x³) / (1 + 5/x³)
Hier gilt nun, dass für x gegen PLUS unendlich der Wert im Zähler gegen Null strebt, mit positivem Vorzeichen. Der Wert im Nenner läuft gegen 1.
Daher ist der Grenzwert NULL.
Für x gegen MINUS unendlich passiert das Gleiche, nur dass der Wert im Zähler ein negatives Vorzeichen hat.
Die Funktion läuft also ebenfalls gegen NULL, nur tut sie dass aus dem negativen Bereich kommend.
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Asymptoten:
Man unterscheidet horizontale, vertikale und schräge Asymptoten.
Eine Horizontale Asymptote liegt bei g(x) vor. Und zwar ist y = 0 eine solche.
Horizontale Asymptoten sind meist Grenzwerte für x gegen unendlich in Fällen, wo das Zählerpolynom den gleichen Grad oder einen kleineren als das Nennerpolynom hat.
Eine schräge Asymptote liegt immer dann vor, wenn das Zählerpolynom einen Grad mehr hat als das Nennerpolynom. Dann läuft die Funktion für x gegen unendlich gegen unendlich. Sie nähert sich aber einer Geraden an, die als lineare Funktion beschrieben werden kann.
Und diese erhält man folgendermaßen:
f(x) = (x³ + 5) / (x² - 3)
Polynomdivision:
(x³ + 5) : (x² - 3) = x + (3x+5)/(x²-3)
-(x³ -3x)
---------
3x + 5
Das Ergbnis der Polynomdivision ist also:
h(x) = x + (3x+5)/(x²-3)
Und dieses zerlegt man nun in seinen liearen Teil und einen Rest von gebrochen-rationaler Funktion.
x ist der lineare Teil.
(3x+5)/(x²-3) ist der gebrochen-rationale Teil.
Und für diesen Restteil gilt nun:
lässt man x gegen unendlich laufen, wird der Wert dieses Restes NULL.
Das heißt also, dass nur noch der lienare Teil eine Rolle spielt: h(x) = x
Und damit hat man auch das Ergbnis: h(x) = x ist die schräge Asymptote zur Funktion f(x) = (x³ + 5) / (x² - 3)
Und schließlich gibt es noch vertikale Asymptoten. Diese liegen immer an Polstellen vor. Die Funktion "schießt" an solchen Polstellen bei ein bestimmten x-Wert ins Unendliche.
f(x) = (x³ + 5) / (x² - 3)
Bei f(x) ist dies dann der Fall, wenn das Nennerpolynom NULL wird. Also für x = WURZEL(3) und x = -WURZEL(3).
Und diese beiden Werte sind dann auch die vertikalen Asymptoten der Funktion f(x)
Ich hoffe, ich habe es verständlich erklären können.
Schönen Abend noch
Justin |
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