| Autor |
Beitrag |
    
Jochen
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 12:26: | 
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Tach, habe Probleme beim Lösen dieser Aufgabe:
Vom Punkt R aus werden die Tangenten an das Schaubild von f gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte und geben Sie die Gleichungen der Tangente an.
a) f(x)=Wurzel aus 2x-4 ; R(2/1)
b) f(x)=x/(x-3) ; R(0/4)
MfG Jochen |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 23:02: |
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HiJochen,
Teilaufgabe a)
Die in dieser Aufgabe gegebene Kurve
stellt eine Halbparabel dar, die ganz im ersten
Quadrant liegt. Die x-Achse ist die Achse der Parabel,
der Scheitel ist der Punkt S(2/0),und die
Parabel ist nach rechts geöffnet.
In einer Vorbereitung leiten wir einen für Parabeln
gültigen und bekannten Tangentensatz her.
Gegeben sei die Parabel y^2 =2*p*x,
wobei p den so genannten Parameter der
Parabel darstellt.
Der Scheitel liegt im Nullpunkt O,
und die y–Achse ist die Scheiteltangente.
Wir berechnen den Achsenabschnitt q auf der y-Achse
einer Parabeltangente, deren Berührungspunkt
P1(x1/y1) vorgegeben sei.
Die Steigung m ergibt sich durch implizite
Differentiation der Parabelgleichung.
2 y y ` = 2 * p , daraus
m = y` = p / y1…………………………………….(1)
Gleichung von t :
y – y1 = p / y1 * ( x – x1 ) ,
Schnittpunkt T mit der y-Achse:
yT = q = y1 – p * x1 / y1=y1– ½ * y1 = ½ * y1,
q = ½ * y1………………………………………….(2)
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Schneidet also eine Parabeltangente t mit Berührungspunkt P1
die Scheiteltangente in T, so ist der Abstand des Punktes T
von der Parabelachse halb so gross wie der Abstand des Punktes P1
von dieser Achse.
Von diesem Satz machen wir bei der ersten Teilaufgabe mit Vorteil
Gebrauch.
Der gegebene Punkt R(2 / 1), von dem aus die Tangenten an die
Parabel y ^ 2 == (2*x - 4) gezogen werden sollen, liegt gerade
auf der Scheiteltangente !
Somit ist die Parallele zur y-Achse durch den Punkt R, deren Gleichung
x = 2 lautet, eine gesuchte Tangente t1
Von der andern kennen wir den Berührungspunkt P1(x1/y1)
Nach dem erwähnten Satz gilt y1 = 2 * yR = 2, daraus sofort
x1 = ½ * ( 4 + y1^2) = 4
Die gesuchte Tangente t2 ist durch die Punkte R(2/1)und P1(4/2)
festgelegt, die Gleichung lautet:
y = ½ * x , wie man sofort erkennt.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Dezember, 2001 - 10:34: |
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Hi Jochen,
Teilaufgabe b)
Identifikation der Kurve:
Der Graph dieser gebrochenen rationalen Funktion
stellt eine Hyperbel dar.
Aus der bruchfreien Darstellung
x y – x – 3 y = 0 erkennt man, dass eine Kurve
zweiter Ordnung , also ein Kegelschnitt vorliegt.
Da die Kurve zwei Asymptoten besitzt, liegt eine
Hyperbel vor.
Vertikale Asymptote: x = 3 ( Polstelle! )
Horizontale Asymptote:y = 1 ( limes y =1 für x gegen oo)
Die Asymptoten stehen aufeinander senkrecht,
somit liegt eine Normalhyperbel vor.
Empfehlung: stelle die Kurve samt den gesuchten
Tangenten grafisch dar (Freihand-Skizze) !
Um die Tangentengleichung aufstellen zu können,
verwenden wir im vorliegenden Fall zur Abwechslung
die Methode der Polarisierung.
In der Kurvengleichung ersetzen wir
x ^ 2 durch x1 x , y ^ 2 durch y1 y ,
x y durch ½ (x1 y + y1 x)
x durch ½ (x + x1 ) , y durch ½ (y +y1)
Aus der Gleichung zweiten Grades, die den Kegelschnitt c
darstellt, entsteht eine lineare Gleichung, die eine Gerade p1
darstellt.
x und y sind die Koordinaten eines laufenden Punktes P von
p1 , x1 und y1 sind die Koordinaten eines gegebenen festen
Punktes P1.
Liegt P1 auf dem Kegelschnitt, so ist p1 die Tangente mit
P1(x1/y1) als Berührungspunkt
Hat P1 allgemeine Lage, so ist p1 die Polare zu P1 als Pol.
Liegt der Pol P1 „ausserhalb“ des Kegelschnitts c,
so schneidet die Polare p1 die Kurve c gerade in den
Berührungspunkten der von P an c gelegten Tangenten ;
wir sind damit bei unserem Thema angelangt !
Durchführung an Deinem Beispiel
Polarisation der Gleichung x y – x – 3 y = 0 führt auf
p1: ½ ( x1 y + y1 x ) – ½ (x 1 + x ) – 3 * ½ ( y1 + y ) = 0
Wir verwenden den Punkt R(0/4) als Pol, setzen also
x1 = 0 ,y1 = 4 ein und vereinfachen.
Die Gleichung der Polaren p1 lautet:
y = x – 4.
Schnitt von p1 mit der Hyperbel y = x / (x-3) führt
auf die quadratische Gleichung in x:
x ^ 2 - 8 x + 12 = 0 mit den Lösungen
xI = 6 , xII = 2 ; die zugehörigen y-Werte sind
yI = 2 ,yII = -2
Wir erhalten damit die beiden Berührungspunkte
T I (6/2), T II (2/-2).
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Setzt man diese Werte der Reihe nach in die Polarengleichung ein,
so findet man als Tangentengleichungen:
y = -1/3 * x + 4
und
y = - 3 * x + 4
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Anmerkung
Die gesuchten Geraden sind je durch zwei Punkte bestimmt,
durch R und T I bezw. durch R und T II ; der Achsenabschnitt
auf der y-Achse ist für beide Geraden q = 4 .
Mit diesen Angaben findet man die beiden Gleichungen sofort.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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