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Julia (Cherie)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 10:55: | 
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Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Aus einer rechteckigen Glasscheibe der Länge 5dm, Breite 2dm ist ein Rechteck grösstmöglichen Flächeninhalts zu bilden, wobei die Glasscheibe einen Riss entsprechend der Funktion f(x)= x²+1
Würde mich schon über einen geeigneten Ansatz freuen. Am besten wäre aber Haupt- und Nebenbedingung sowie die Zielfunktion ;o) |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 14:13: |
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Hallo Julia!
Deine Aufgabe ist wirklich nicht ganz einfach. Wie bei den meisten Extremwertaufgaben fertigt man sich zuerst eine Skizze an.
Du zeichnest also die gesamte Glasscheibe in Form eines Rechtecks mit der Breite x=2 und Höhe y=5 in ein Koordinatensytem ein. Danach zeichnest du den positiven Ast der Funktion y=x^2+1 ein. Bei einer guten Skizze lässt sich schon vermuten, ob man das maximale Rechteck aus dem "oberen" oder "unteren" Stück der Scheibe schneiden kann. Bei deiner Aufgabe ist das allerdings nicht ganz einfach, so dass ich dir den Lösungsweg für das obere Bruchstück angebe. Für das untere Bruchstück kannst du es dann selbst versuchen.
Man sucht sich also eine beliebigen Punkt auf dem Graphen und verbindet diesen mit der y-Achse und dem oberen Scheibenrand. Dadurch erhält man also ein mögliches Rechteck oberhalb des Risses mit der Breite x und der Höhe 5-y.
Dieses Rechteck soll also maximale Fläche erhalten.
Die Funktion lautet also: A(x,y)= x * (5-y)
Diese Funktion ist dummerweise noch von zwei Variablen abhängig, also müssen wir eine davon ersetzen.
Die Nebenbedingung ist hier recht einfach gefunden, denn die Wahl des richtigen Punktes ist von dem Riss abhängig, also y = x^2+1.
Den Funktionsterm kannst du also anstelle des y in deine Ausgangsfunktion einsetzen:
Nach Umformung ergibt sich:
A(x)= -x^3 + 4x
Differenzieren und nullsetzen:
A'(x)= -3x^2 + 4 A'(x)= 0
x^2=4/3
x1= 2/wurzel(3)
x2= -2/wurzel(3) Dieses Ergebnis liegt nicht auf der Glasscheibe ( D= R [0,2])
Die Breite des maximalen Stücks hast du also schon. Nun setzt du diesen Wert in die Funktion des Risses, also y=x^2+1 ein und subtrahierst diesen Wert dann von der Höhe 5.
5-(4/3+1)= 8/3
Da du nun die Höhe und die Breite des neuen Rechtecks hast, kannst du die Fläche errechnen.
Die gleich Prozedur führst du nun für das untere Bruchstück durch und vergleichst diese zwei Glasstücke. Das übt ;-) |
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