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Jessica
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 08:38: | 
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Hi, ich komm da einfach nicht weiter.
Für jede reelle Zahl t ist eine Funktion f gegeben durch f(x)=(t+lnx)/x ;x>0
Das Schaubild von f sei K.
Bestimme die Gleichung derjenigen Kurve C, auf der die Hochpunkte der Kurven K liegen.
Die Kurve K, die x- Achse und die zur y-Achse parallele Gerade durch den Hochpunkt von K umschließen eine Fläche. Berechne ihren Inhalt.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen... |
ae187
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 11:51: |
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Hallo Jessica,
um die Ortskurve der Hochpunkte zu berechnen, bildest du zunächst die erste Ableitung
mit der Quotientenregel, dann ergibt sich:
............(1/x)*x-(t+ln(x))*1.......1-t-ln(x)
f'(x)= ---------------------- = ----------
...................x²..........................x²
Die Ableitung wird dann =0 gesetzt, also:
1-t-ln(x) = 0
Um die Ortskurve zu bestimmen, musst du diese Gleichung jetzt nach t, und nicht nach x auflösen.
Dann ergibt sich: t=1-ln(x).
Dieses t musst du jetzt in die Funktionsgleichung einsetzen:
.........1-ln(x)+ln(x).......1
f(x)= -------------- = ---
..............x.................x
Damit ist f(x)= 1/x die Ortskurve der Hochpunkte.
Die Berechnung der eingeschlossenen Fläche ist schon etwas schwieriger.
Zunächst musst du die x-Werte der der Hochpunkte bestimmen, also die Gleichung 1-t-ln(x)=0 nch x auflösen.
==> ln(x)=1-t | e^
x = e^(1-t)
Dieser Wert ist nun die obere Grenze des Integrals.
Um die untere Grenze zu bestimmen, berechnest du die Nullstellen der Funktion, also Zähler =0 setzen:
t+ln(x)=0 ==> ln(x)=-t ==> x = e^-t
Als nächstes musst du eine Stammfunktion bestimmen,
also INTEGRAL (t+ln(x))*1/x dx.
Am besten teilst du das Integral in zwei einzelne Intagrale auf:
also INTEGRAL (t*(1/x))dx + INTEGRAL (ln(x)*(1/x))dx
Die Stammfunktion für das erste Integral dürfte dir eigentlich keine Schwierigkeiten machen.
Die Stammfunktion ist F(x)=t*ln(x).
Für das zweite Integral benötigst du die partielle Integration (ich hoffe die kennst du):
Du kannst also schreiben:
INTEGRAL (1/x)*ln(x) dx = [(ln(x))²] -INTEGRAL (1/x)*ln(x) dx
Nun addierst du auf beiden Seiten das Integral:
2 * INTEGRAL (1/x)*ln(x) dx = [(ln(x))²]
==> INTEGRAL (1/x)*ln(x) dx = (1/2) [(ln(x))²]
Also ergibt sich als gesamte Stammfunktion:
F(x) = t*ln(x)+ (1/2) *(ln(x))²
In diese Funktion setzt du jetzt die beiden Grenzen ein:
A= F(e^(1-t))-F(e^-t)
= [ t*ln(e^(1-t))+(1/2)*(ln(e^(1-t)))²] - [ t*ln(e^-t)+ (1/2)*(ln(e^-t))²]
= t*(1-t)+ (1/2)*(1-t)²-t(-t)- (1/2)*(-t)²
=t - t² + (1/2) - t + (1/2)*t² + t² - (1/2)*t²
= 1/2
Man sieht also, dass der Parameter t keinen Einfluss auf sie Fläche hat.
Ich hoffe, ich konnte dir ein bißchen weiterhelfen.
Mfg ae187 |
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