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eagle
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 16:04: | 
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Hallo!
Ich habe die Fkt. f(x)=3-x^2
Ein Punkt P (rechts oben im Koordinatensystem) auf einer Tangenten t von f ist gesucht, und zwar so, dass die Fläche F maximal ist. F wird begrenzt durch t und die x/y-Achsen.
Vielen Dank im Voraus |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. Dezember, 2001 - 15:54: |
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Hallo Eagle!
Ich hoffe, dass ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Also zunächst zeichne ich mir die Funktion f(x) in ein Koordinatensystem. Deine Rechteckfläche soll nun also zwischen den Koordinatenachsen und dem Graphen liegen. Damit ist auch die Forderung erfüllt, dass t dies Fläche begrenzt, denn Funktion und Steigungstangente haben immer einen gemeinsamen Punkt. Du suchst dir also eine beliebigen Punkt auf dem Graphen im 1. Quadranten und verbindest diesen mit jeweils der Abzissen- und Ordinatenachse. Du erhältst nun ein Rechteck, das es zu maximieren gilt.
Die Fläche dieses Rechtecks ist x * y, also ist unsere Ausgangsfunktion A(x,y)= x * y. Diese Funktion ist allerdings noch von zwei Variablen abhängig. Da f(x) das Rechteck begrenzt, haben wir hier auch schon die Nebenbedingung:
y= 3-x^2.
Du muss nun das y der Ausgangsfunktion durch die Nebenbedingung ersetzen und erhältst dann folgende Zielfunktion:
A(x)= -x^3+3x
Ableitung bilden und diese nullsetzen:
A'(x)= -3x^2+3 A'(x)=0
x^2=1
Lösung:
x1=1
x2=-1 Dieses Ergebnis benötigen wir nicht, da wir das Rechteck im 1. Quadranten ermitteln wollen.
Du errechnest nun den Funktionswert {f(1)= 2} und erhältst dann den zugehörigen y-Wert.
Alles klar? Dann noch viel Spass beim rechnen.
MfG Martin |
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