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Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 21:15: | 
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Bei der nachfolgenden Extremalaufgabe komme ich einfach nicht auf die Formulierung einer brauchbaren Nebenbedingung. Ich hoffe, dass ich die Aufgabenstellung auch ohne Skizze darstellen kann:
Zu bestimmen ist die Höhe h eines Kegels kleinsten Volumens der eine Halbkugel mit vorgegebenem Radius R enthält. Dabei liegt der Mittelpunkt der Grundfläche des Kegels im Kugelmittelpunkt. Mir würde das Hinführen zur Zielfunktion prinzipiell genügen, denn ich denke, dass ich danach wieder selbst zurechtkomme. Beim Aufstellen der Nebenbedingung habe ich auch mit dem Pythagorassatz nichts erreicht, vielleicht habe ich heute ne Denkblockade. Also vielen Dank schon mal im voraus.
Martin |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 21:48: |
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Hi Martin,
Zunächst schreiben wir eine Beziehung zwischen der
Mantellinie s, dem Grundkeisradius r und der Höhe h
des Kegels an: nach Pythagoras gilt
s = wurzel (r^2 + h^2)
In einer (guten) Skizze erkennen wir zwei ähnliche Dreiecke,
welche uns die Beziehung
R : h = r : s
liefern. Ersetze darin s durch obigen Term,
und Du bist am Ziel.
Beachte die zur Proportion gehörige Produktengleichung
R*s = h*r ;beide Seiten drücken je die doppelte Fläche
eines gewissen Dreiecks aus.
N.B. Der Kugelradius R spielt die Rolle des Berührungsradius
einer Mantellinie des Kegels, welche den Halbkreis berührt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 22:09: |
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Hi Martin!
Die Nebenbedingung ist in der Tat nicht einfach zu finden:
Zeichne doch mal eine Strecke vom Mittelpunkt der Grundfläche zum Berührungskreis zwischen Kugel und Kegel ein! Diese Strecke steht als Normale auf dem Kegelmantel senkrecht und hat die Länge R. Man hat nun zwei rechtwinklige Dreiecke und kann die beiden Teilstücke der Außenlänge des Kegels durch h,r und R ausdrücken. Diese Außenlänge kann aber auch durch das eine rechtwinklige Dreieck mit den Katheten r und h ausgedrückt werden, fertig ist die Nebenbedingung. Nach r² aufgelöst ergibt sich:
r² = (R² * h²) / (h² - R²)
Das in die Kegelvolumenformel eingesetzt gibt das Volumen nur noch in Abhängigkeit von h.
Dann ableiten, null setzen, durch zweite Ableitung kontrollieren und schon hat man das h für minimales Volumen mit Halbkugel drin... ;-)
MfG, Integralgott |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 22:11: |
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Oh, da war wohl jemand schneller als ich... :-))
Naja, kannst du dir was aussuchen ;-)
MfG, Integralgott |
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