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corry
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 20:42: | 
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Ich hoffe jemand kann mir bei dem folgenden Beispiel helfen. Ich habe zwar die Lösungen, aber ich komme nicht auf den richtigen Lösungsweg!
a)Diskussion der Funktion f:x->y= x/(x²-4) über R
b)Wie lautet die im Punkt P(3/y1) der Funktion f die Tangentengleichung?
Lösung:
a) y'=(-x²-4)/(x²-4)² y"=(2x³+24x)/(x²-4)³
Y(0/0) N(0/0) 1. Ordnung
keine Extremwerte und Wendepunkt
(aber warum? woher weiss ich dass?)
Wt(x)=y=-1/4x
(Berechnung?)
b) y=(-13/25x)+2,16
(diese Berechnung versteh ich überhaupt nicht!)
Danke im Voraus  |
Martin (Mellek)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 00:14: |
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Hi Corry!
Du hast hier den Fall der Kurvendiskussion einer gebrochenen Funktion. Die sind recht gut zu erledigen und meist muss man auch nicht viel rechnen. Es ist aber sinnvoll, eine Skizze des Graphen neben der Rechnung anzufertigen.Hier also das generelle Rezept für derartige Funktionen:
f(x)=y= x/(x^2-4)
1. Festlegen des Definitionsbereichs. An den Stellen an denen der Nenner = 0 ist, ist die Funktion nicht definiert.
0= x^2-4
4=x^2
x1=2 ; x2=-2
Lücken und Polstellen:
Der Definitionsbereich für x ist also R/{2,-2}
Da bei diesen beiden x-Werten der Zähler nicht gleichzeitig 0 wird, liegen hier also Polstellen und keine Lücken vor.
Du zeichnest also in deine Skizze diese beiden Pole senkrecht bei 2 und -2 ein.
Asymptoten:
Da hier eine echtgebrochene Funktion vorliegt ist die Asymptote die x-Achse. Das kannst du prüfen, indem du den Limes für +- unendlich bildest. Auch dies solltest du in deiner Skizze markieren.
Nun ermittelst du das Verhalten des Graphen in Annäherung von links und rechts an die Polstellen.
Am besten gibst Du Werte, die dicht links und rechts daneben liegen als Funktionsargument in deinen Taschenrechner ein. (z.B. 2,00001 und 1,99999) Du erkennst am Ergebnis, ob der Wert gegen + oder - unendlich strebt. Zeichne auch dafür kleine markierungen in deine Skizze.
Nun kommen wir zu den Nullstellen der Funktion:
Setze y=0:
0=x/(x^2-4) /*(x^2-4)
x=0
D.h. es existiert eine Nullstelle bei x=0, also im Koordinatenursprung. Markiere auch dies auf deiner Skizze. Der Verlauf des Graphen lässt sich also schon ohne großes Rechnen vermuten.
Extremwerte:
notw.Bedingung: f'(x)= 0
Die Ableitung einer gebrochenen Funktion erledigt man normalerweise mit der Quotientenregel der Differentialrechnung also
y'=vu'-uv'/v^2
u=x ; u'=1 und v=x^2-4 ; v'=2x
y'=(x^2-4)*1 - x*2x/(x^2-4)^2 /vereinfacht
y'=-(4+x^2)/(x^2-4)^2 / y'=0;mit Nenner multiplizieren und durch (-1) dividieren
0=4+x^2
x^2=-4
Das Ergebnis ist konjugiert komplex, also nicht Element der reellen Zahlen (s.Definitionsbereich) und somit existieren für diese Funktion Extrema, wir können also auf die zweite Ableitung locker verzichten.
Du kannst also nun die Markierungen in deinem Graphen verbinden. Rechne ggf. noch ein paar Hilfspunkte aus. Die Symmetrie lässt sich am Graphen erkennen.
Das war nun recht ausführlich und ich hoffe, dass du damit zurecht kommst.
b) P(3,y1)
y'=f'(x) an der Stelle x=3
also f'(3)
Du ersetzt nun also das x der ersten Ableitung durch 3, um die Steigung der Tangente bei x=3 zu finden.
f'(3)-(4+3^2)/(3^2-4)^2=-13/25
Die Steigung ist negativ, d.h. die Tangente ist fallend.
Nun müssen wir noch eine Punkt der Tangente ermitteln. Das macht man, indem man den Funktionswert an der Stelle x=3 ermittelt.
f(3)=3/(3^2-4)=3/5
Du setzt dann deine Ergebnisse in die Punkt-Steigungs-Form ein und erhälts dann:
(y-3/5)/(x-3)=-13/25
y=-(13/25)* x + 54/25
Viel Spass
Martin |
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