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Beitrag |
    
Marcel M.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 16:48: | 
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ich brauche dringent eure hilfe ich hab leider keinen plan wie ich stammfunktionen bestimmen kann.
a. f(x) = a^x
b. f(x) = x² sinx
c. f(y) = y^4 ln y
d. f(x) = x(x+5)^17
e. f(x) = (2x+3)/(6x+7)²
die muss ich morgen fertig haben.
ich bin für jede hilfe dankbar!!! |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 21:05: |
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Hi Marcel!
a.) durch Substitution:
f(x) = a^x = e^(ln (a^x)) = e^(x*ln a)
Int [e^(x*ln a)]dx subst. x*ln a = z => dx = dz/ln a
(1/ln a) * Int [e^z]dz
= (1/ln a) * e^z + C
= (1/ln a) * e^(x*ln a) + C
= (1/ln a) * a^x + C
b.) partiell integrieren:
Int [x²*sin x]dx
= x²*(-cos x) + 2*Int [x*cos x]dx
= -x²*cos x + 2*(x*sin x - Int [sin x]dx)
= -x²*cos x + 2*x*sin x + 2*cos x + C
= (2-x²)*cos x + 2*x*sin x + C
c.) partiell integrieren:
Int [y^4 * ln y]dy
= (1/5)*y^5*ln y - (1/5)*Int [y^4]dy
= (1/5)*(y^5*ln y - (1/5)*y^5) + C
= (1/5)*y^5*(ln y -(1/5)) + C
d.) partiell integrieren + Substitution
Int [u'*v] mit u'=(x+5)^17 und v=x
u = Int [(x+5)^17]dx subst. x+5=z => dx=dz
u = Int [z^17]dz = (1/18)*z^18 = (1/18)*(x+5)^18
v' = 1
Int [x*(x+5)^17]dx
= x*(1/18)*(x+5)^18 - (1/18)*Int [(x+5)^18]dx
subst. x+5=z => dx=dz
= (1/18)*x*(x+5)^18 - (1/18)*Int [z^18]dz
= (1/18)*x*(x+5)^18 - (1/18)*(1/19)*z^19 + C
= (1/18)*(x*(x+5)^18 - (1/19)*(x+5)^19) + C
= (1/18)*(x+5)^18*(x - (1/19)*(x+5)) + C
= (1/18)*(x+5)^18*((18/19)*x - (5/19)) + C
= (1/342)*(x+5)^18*(18*x-5) + C
e.) Umformung + Substitution:
Int [(2x+3)/(6x+7)²]dx
= (1/36)*Int [(72x+108)/(6x+7)²]dx
= (1/36)*Int [(72x+84)/(6x+7)²]dx + (24/36)*Int[1/(6x+7)²]dx
subst. (6x+7)²=u => dx=dz/(72x+84)
subst. 6x+7=z => dx=dz/6
= (1/36)*Int [1/u]du + (1/9)*Int[1/z²]dz
= (1/36)*ln u + (1/9)*(-1)/z + C
= ln ((6x+7)²)/36 - 1/(54x+63) + C
So, ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet oder verschrieben habe...
MfG, Integralgott |
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