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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 14:21: | 
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Ich verstehe die gebrochenrationalen Funktionen nicht und schreibe morgen eine Klausur!!!!!!!!
Kann mir jemand anhand dieses Beispiels leicht und verständlich erklären wie das geht.
Beispiel) x^2-9/x^2-3x
Kann man mir dabei auch Dinge erklären wie man z.B bei der Symmetrie direkt erkennt ob etwas f(x) entspricht oder nicht (Irgendwie mit drei Fällen mit den Vorzeichen oder so etwas?)oder wann man eine Polstelle mit Vorzeichenwegsell oder eine Hebare Lücke hat usw.
Ich zähle auf euch! |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 17:38: |
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Hallo Christian, Mark, oder wie auch immer du heißen magst,
man hilft ja gern, wo man kann.
Aber es ist noch lange nicht so, dass derjenige, der am meisten schreit, auch am schnellsten was zu erwarten hat.
Und gewisse Schreibfehler tun sowas von weh wie Du mir leid tust.
Justin
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Mark
Ich schreibe morgen eine Klausur über gebrochenrationale Funktionen und verstehe sie nicht!!
Kann mir jemand anhand eines Beispiels leicht und verständlich erklären wie das geht. Kann man mir dabei auch Dinge erklären wie man z.B bei der Symmetrie direkt erkennt ob etwas f(x) entspricht oder nicht (Irgendwie mit drei Fällen mit den Vorzeichen oder so etwas?)oder wann man eine Polstelle mit Vorzeichenwegsell oder eine Hebare Lücke hat usw.
Ich zähle auf euch!
(http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/23946.html?1008248617) |
ren
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 18:06: |
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Hallo Christian, Mark oder wie immer,
Ich gehe davon aus, dass deine Beispielfunktion f(x) = (x² - 9) / (x² - 3x) heißt, sich also also als Quotient der beiden Funktionen p(x) = x² - 9 und q(x) = x² - 3x zusammensetzt. Richtig ?
Kurvendiskussion:
1. Definitionsbereich
Hier musst du darauf achten, dass der Nenner nicht 0 werden darf. Im Beispiel wird der Nenner 0 für x = 0 oder x = 3 (denn x² - 3x = x(x-3) ); für diese beiden Werte ist die Funktion nicht definiert.
IDf = IR \ {0 ; 3}
2. Symmetrie
Hier kannst du mit einfachen Mitteln lediglich untersuchen, ob der Funktionsgraph (i) symmetrisch zum Ursprung (0/0) oder (ii) zur y-Achse ist (das gilt auch für ganzrationale Funktionen).
Zu (i): Überprüfe, ob f(-x) = - f(x) (für alle x aus ID) ist (dies bedeutet Symmetrie zum Punkt (0/0), wie du dir am Graphen der einfachen Funktion f(x) = x³ leicht klarmachen kannst).
Zu (ii): Überprüfe, ob f(-x) = f(x) (für alle x aus ID) ist (Symmetrie zur y-Achse; sieh dir dazu den Graphen von f(x) = x² an.)
Im Beispiel:
f(-x) = ((-x)² - 9) / ((-x)² - 3(-x)) = (x² - 9) / (x² + 3x)
- f(x) = (-x² + 9) / (x² - 3x)
Es gilt f(x) ‡ f(-x) ‡ - f(x), also ist beim Graphen eine einfache Symmetrie nicht erkennbar.
3. Polstellen; Asymptoten
Das ist mit einfachen Worten (und ohne Anschauungsmaterial) schwer zu erklären. Asymptoten sind Geraden (die waagrecht, senkrecht oder auch schief liegen können), an die sich der Graph so zu sagen "anschmust" , ohne sie jedoch jemals zu erreichen. [Du besitzt doch sicher ein Mathebuch, in dem Schaubilder den Sachverhalt verdeutlichen. Schau doch mal rein! Dort findest du mit Sicherheit auch eine genaue mathematische Erklärung].
Eine Polstelle x0 findest du heraus, indem du das Verhalten der Funktion "in der Nähe" der Stellen untersuchst, die nicht zur Definitionsmenge gehören. Der Nenner des Funktionsterms ist an diesen Stellen 0. Ist x0 keine Nullstelle des Zählerpolynoms, dann gilt |f(x)| ® ¥ für x ® x0 und x0 ist eine Polstelle ( f hat an der Stelle x0 einen Pol ).
In deinem Beispiel sind die Definitionslücken x1 = 0 und x2 = 3 und kommen als Kandidaten für Polstellen in Frage.
Nun lässt sich das Zählerpolynom p(x) als Produkt schreiben (3. bin. Formel):
p(x) = (x + 3)(x - 3)
Beim Nennerpolynom q(x) kannst du x ausklammern:
q(x) = x (x - 3). Also lässt sich f(x) schreiben als
f(x) = [(x+3)(x-3)] / [x (x-3)]
Nun kannst du mit x-3 kürzen und erhältst
f(x) = (x+3) / x = x/x + 3/x = 1 + 3/x
Für x ® 0 geht f(x) gegen unendlich. x1 = 0 ist Polstelle.
Dagegen ist lim x ® 3 f(x) = 1 + 1 = 2. x2 = 3 ist keine Polstelle.
Für x ® 0 , x > 0 (d.h. wenn du dich von rechts der Stelle x0 näherst) gilt
f(x) ® + ¥
Für x ® 0 , x < 0 (d.h. wenn du dich von links der Stelle x0 näherst) gilt
f(x) ® - ¥
f hat an der Stelle 0 einen Pol mit Vorzeichenwechsel.
Die Gerade mit der Gleichung x = x1 = 0 (das ist die y-Achse) ist senkrechte Asymptote.
[lax ausgedrückt heißt das: wenn sich der Graph "links von der senkrechten Asymptote" "im negativen Unendlichen" und rechts davon "im positiven Unendlichen" verliert (oder umgekehrt), dann liegt ein Pol mit VZW vor, wenn die beiden Äste des Graphen in die gleiche Richtung gehen, ist es eine Polstelle ohne VZW.]
Vorsicht mit dem umgeformten Term: Die Funktion 1 + 3/x ist (im Gegensatz zu der ursprünglichen) an der Stelle x = 3 definiert; die ursprüngliche Funktion f hat dort eine Definitionslücke, die behebbar ist, indem man f(3) := 2 setzt.
Nun musst du noch das Verhalten der Funktion für |x| ® ¥ (d.h. x ®+ ¥
oder x ®- ¥ untersuchen. In dem gekürzten Funktionsterm (s.o.) f(x) = 1 + 3/x siehst du sofort: für |x| ® ¥ geht 3/x gegen 0, also f(x) gegen 1. Die Gerade mit der Gleichung y = 1 ist waagrechte Asymptote.
4. Nullstellen : Setze f(x) = (x+3) / x = 0 Þ x = -3
N (-3/0)
5. Ableitungen:
f'(x) = -3/x²
f''(x) = 6/x³
f'''(x) = -18/x4
6. Extremstellen:
Die notwendige Bedingung f'(x) = 0 ist für kein x erfüllt, also gibt es keine lokalen Extrema.
7. Wendestellen:
Auch hier ist die notwendige Bedingung nicht erfüllt: f''(x) ‡ 0 für alle x aus ID.
Es gibt keine Wendepunkte.
Ich hoffe, es hilft dir weiter.
Gruß |
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