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Martin Muskala (Mellek)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 14:01: | 
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Es soll die Bogenlänge der Funktion y=lnx in den Grenzen von 1 bis e berechnet werden. Ich habe mich schon stundenlang an dieser Aufgabe versucht, finde jedoch nicht den richtigen Weg.
Die Formel für die Bogenlänge lautet: Integral von sqrt(1+ y'^2)dx in den Grenzen von 1 bis e.
Ich setze die erste Ableitung von lnx, also 1/x ins Qudrat und erhalte somit das Integral von
sqrt(1+1/x^2). Doch leider fehlt mir jegliche Idee, wie ich diesen Ausdruck nun auf ein Grundintegral zurückführen kann. Ich habe es mit Substitution versucht, doch leider ohne Erfolg. Ein gutes Matheprogramm kann die Lösung zwar ermitteln, doch soetwas darf man in Klausuren ja leider nicht nutzen. Es wäre toll, wenn mir jemand den Weg zur Lösung erläutern könnte. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 17:10: |
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Hi Martin,
Du bist auf dem richtigen Weg !
Kleine Umformungen sind jedoch noch notwendig
Der Integrand sei mit f(x) bezeichnet
Wir schreiben
f(x) = wurzel(1 +1 / x^2) = 1/x * wurzel(1+x^2)
=1 / x * [ ( 1 + x ^ 2 ) / wurzel ( 1 + x ^ 2 ) ) ]
Jetzt kannst Du das Integral als Summe zweier einfacherer
Integrale darstellen !
Die Integranden seien mit u(x) und v(x) bezeichnet:
u(x) = x / wurzel (1+x ^ 2)
v(x) = 1 / [x * wurze (1+ x ^ 2) ]
Die Integration von u liefert wurzel(1+ x^2)
Die Integration von v liefert – ln [{1+wurzel(1 + x^2)} / x ]
Das letzte Integral findest Du in bessern Tafelwerken.
Es steht in Beziehung zu den Areahyperbolicus-Funktionen.
Es würde hier die Substitution x = sinh (t), dx = cosh (t) * dt
helfen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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