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corry
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 13:36: | 
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Ich hoffe du kannst mir bei dem folgenden Beispiel helfen. Ich habe zwar die Lösungen, aber ich komme nicht auf den richtigen Lösungsweg!
a)Diskussion der Funktion f:x->y= x/(x²-4) über R
b)Wie lautet die im Punkt P(3/y1) der Funktion f die Tangentengleichung?
c) Berechnung des Flächeninhaltes, den die Funktion f mit der Tangente im Intervall I=(3;5) einschliesst!
Lösung:
a) y'=(-x²-4)/(x²-4)² y"=(2x³+24x)/(x²-4)³
Y(0/0) N(0/0) 1. Ordnung
keine Extremwerte und Wendepunkt
(aber warum? woher weiss ich dass?)
Wt(x)=y=-1/4x
(Berechnung?)
b) y=(-13/25x)+2,16
(diese Berechnung versteh ich überhaupt nicht!)
c) A=Integral f(x) dx=0,55754226 E²
Danke im Voraus  |
Denise
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 19:48: |
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Hallo corry,
Kannst Du denn wirklich keinen besseren Titel finden? |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. Dezember, 2001 - 09:52: |
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Hallo Corry
a) Die Extrema erhält man, wenn man die 1.Ableitung Null setzt; also
(-x²-4)/(x²-4)²=0
<=> -x²-4=0
<=> -x²=4
<=> x²=-4
da ein Quadrat (hier x²) nicht negativ sein kann, gibt es keine Lösung dieser Gleichung und damit keine Extrema.
Für die Berechnung der Wendepunkte setzt man die 2. Ableitung Null; also
(2x³+24x)/(x²-4)³=0
<=> 2x³+24x=0
<=> 2x(x²+12)=0
=> x=0 oder x²+12=0
=> x=0 oder x²=-12 (Quadrat kann nicht negativ sein)
also möglicher Wendepunkt für x=0
Mit 3. Ableitung überprüfen:
y'''=f'''(x)=(-6x4-144x²-96)(x²-4)4
=> f'''(0)=-96/256<>0
Also Wendepunkt W(0/0)
Wt(x)=y=-1/4x (Tangente in W)
m=f'(0)=(-0²-4)/(0²-4)²=-4/16=-1/4
Da Ursprungsgerade folgt y=-1/4*x
b) P(3/y1)
Durch einsetzen von x=3 in die Funktionsgleichung y1 berechnen; also
f(3)=3/(3²-4)=3/(9-4)=3/5=y1
1. Ableitung an der Stelle x=3 liefert die Steigung der Geraden; also
f'(3)=(-3²-4)/(3²-4)²=(-9-4)/(9-4)=-13/5²=-13/25=m
Koordinaten von P und die Steigung in die allgemeine Geradengleichung y=mx+b einsetzen, ergibt
3/5=-13/25*3+b<=> 3/5=-39/25+b <=> b=3/5+39/25=15/25+39/25=54/25=2,16
=> y=-13/25*x+2,16 ist die Gleichung der Tangente in P.
c) A=ò3 5(f(x)-y)dx
=ò3 5(x/(x²-4)+(13/25)x-2.16)dx
=[(1/2)*ln(x²-4)+(13/50)x²-2.16x]53
=|(1/2)*ln(25-4)+(13/50)*25-2.16*5-[(1/2)*ln(9-4)+(13/50)*9-2.16*3]|
=|0.5*ln21+(13/2)-10.8-[0.5*ln5+(117/50)-6.48]|
=|-2.77774-(-3.33528)|
=0.55754
Mfg K. |
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