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Beitrag |
    
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 12:20: | 
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Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
x^2/x^3-x |
Justin
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 16:36: |
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Hallo Christian,
Du meinst sicher f(x) = x²/(x^3-x).
Die Aufgabe hat's in sich :-)
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1. Definitionsbereich
f(x) = x²/(x³-x) =u(x)/v(x)
u(x) = x²
v(x) = x³-x
v(x) darf nicht NULL werden. Es müssen also die Nullstellen von v(x) bestimmt werden.
v(x) = x³-x = x * (x²-1) = 0
=> x1 = 0 => Nullstelle
=> x²-1 = 0
=> x2 = 1 und x3 = (-1) => zwei Nullstellen.
Also ist f(x) für alle rellen Werte x definiert, außer (-1), 0 und 1.
D = R \ (-1;0;1)
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2. Nullstellen
f(x) = x²/(x³-x)
=> u(x) = x² = 0
=> x = 0
Für x=0 ist f(x) aber nicht definiert, also hat diese Funktion keine Nullstellen.
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3. Schnittpunkt mit der Y-Achse
Entfällt ebenfalls, da f(0) nicht definiert ist.
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4. Verhalten von f am Rand des Definitionsbereiches.
f(x) = x²/(x³-x)
Verhalten für x => +/- unendlich
f(x) = x²/(x³*(1-1/x²)) = 1 / x*(1-1/x²) = 1 / (x - 1/x)
limes 1/(x-1/x) für x=> PLUS unendlich => 1/(minus unendlich-0) = 0
limes 1/(x-1/x) für x=> MINUS unendlich => 1/(minus unendlich+0) = 0
Also hat die Funktion für x => +/- unendlich die horizontale Asymptote y=0.
Der Graph der Funktion nähert sich also mit immer größer werdendem x der X-Achse.
Verhalten für x => (-1)
f(x) = x²/(x³-x) = 1/(1-1) = 1/0
=> Polstelle
limes x²/(x³-x) für x=>(-1) bei x<(-1) => MINUS unendlich
limes x²/(x³-x) für x=>(-1) bei x>(-1) => PLUS unendlich
=> Polstelle erster Ordnung, also springt der Funktionswert mit steigendem x aus dem
negativen in den positiven Bereich.
Verhalten für x => 0
f(x) = x²/(x³-x) = 0/(0-0) = 0/0
=> könnte eine Lücke sein. Die Teilfunktionen u und v müssen also einen gemeinsamen Faktor
haben, den es heraus zu kürzen gilt.
Und dieser Faktor ist (x)
x²/(x³-x) = x²/(x(x²-1))
Kürzen => x/(x²-1)
=> 0 / (0-1) = 0/1 = 0
Für f(0) existiert also ein Grenzwert, und zwar 0.
Das heißt, f(0) ist zwar an der Stelle x=0 nicht definiert, die Funktion nähert sich diesem
Wert an.
Wir haben es also bei x=0 mit einer behebbaren Lücke der Funktion zu tun!
Verhalten für x => 1
f(x) = x²/(x³-x) = 1/(1-1) = 1/0
=> Polstelle
limes x²/(x³-x) für x=>(-1) bei x<(-1) => MINUS unendlich
limes x²/(x³-x) für x=>(-1) bei x>(-1) => PLUS unendlich
=> Polstelle erster Ordnung, also springt der Funktionswert mit steigendem x aus dem
negativen in den positiven Bereich.
Zusammenfassung: f(x) hat an den Stellen x=1 und x=(-1) jeweils eine Polstelle erster Ordnung und an der Stelle x=0 eine Lücke.
Außerdem nähert sich Funktion für x=> +/- unendlich der X-Achse als Asymptote an.
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5. Ableitungen der Funktion
f(x) = x²/(x³-x)
f'(x) = (u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)) / v²(x)
f'(x) = (2x*(x³-x) - x²*(3x²-1)) / (x³-x)²
f'(x) = (2x^4 - 2x² - 3x^4 + x²) / (x^6 -2*x^4 + x²)
f'(x) = (-x^4 - x²) / (x^6 -2*x^4 + x²)
f'(x) = -x²(x² + 1) / x²(x^4 -2*x² + 1)
f'(x) = -(x² + 1) / (x^4 -2*x² + 1)
f'(x) = -(x² + 1) / ((x+1)²(x-1)²)
f''(x) = (-2x * (x^4-2x²+1) + (x²+1)*(4x³-4x)) / (x^4-2x²+1)²
f''(x) = (-2x^5 + 4x³ - 2x + 4x^5 - 4x³ + 4x³ - 4x) / (x^8 - 4*x^6 + 6*x^4 - 4*x2 + 1)
f''(x) = (2*x^5 + 4x³ - 6x) / (x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x² + 1)
f''(x) = 2x(x^4 + 2x² - 3) / (x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x² + 1)
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6. Extremwerte
f'(x) = -(x² + 1) / ((x+1)²(x-1)²)
f'(x) kann nur NULL werden, wenn die Funktion im Zähler gleich NULL ist. Dies ist allerdings
nicht möglich, da x² = (-1) nicht reell lösbar ist.
Also gibt es auch keine lokalen Extremwerte.
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7. Monotonieverhalten
Die Funktion springt an beiden Polstellen jeweils mit steigenden x-Werten von MINUS unendlich auf PLUS unendlich.
Zugleich besitzt sie keine Extremwerte, es kommt also nie zu eine zu einer Änderung des
Monotonieverhaltens.
Also ist die Funktion über den ganzen Verlauf hinweg STRENG MONOTON FALLEND
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8.Wendestellen
f''(x) = 2x(x^4 + 2x² - 3) / (x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x² + 1)
=> 2x * (x^4 + 2x² - 3) = 0
2x = 0 => x=0
x=0 ist aber keine Wendestelle, da f(0) nicht definiert ist.
x^4 + 2x² - 3 = 0
Substituieren: z = x²
z² + 2z - 3 = 0
z = -(2/2) +/- WURZEL(1+3)
z1 = -1 + 2 = 1
z2 = -1 - 2 = -1
Zurück Substituieren: x² = z
z1 = 1 => x² = 1
=> x = 1
=> x = (-1)
Beide Varianten scheiden aus, da f(1) und f(-1) nicht definiert sind.
z2 = -1 => x² = (-1) => keine reelle Lösung.
Es existieren also auch keine Wendestellen.
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9. Wertebereich der Funktion
Die Funktion nimmt alle Werte der reellen Zahlen an, mit Ausnahme der Null.
Also: W = R \ (0)
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10. Symmetrieeigenschaften
Symmetriepunkt ist der Punkt (0;0)
Für diesen Fall muss gelten:
f(-x) = -f(x)
f(-x) = (-x)²/((-x)³-(-x)) = x²/(-x³+x) = - x²/(x³+x)
-f(x) = -(x²/(x³-x)) = x²/(-(x³-x) = x²/(-x³+x) = - x²/(x³+x)
- x²/(x³+x) = - x²/(x³+x)
Die Funktion ist also zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch.
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So, das sollte es gewesen sein.
Viel Spaß beim Überprüfen :-) |
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