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Markus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 15:10: | 
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Mit folgender Aufgabe kann ich so gut wie nichts anfangen, wenn ihr mir helfen könnt wäre das toll!
Gegeben sind die Punkte P (6/7/4), Q (0/-1/-2) und R (-5/7/1) sowie die Gerade g:x=(2/5/0)+r(1/1/-1)
a)Bergründen Sie durch Rechnung, dass der Punkt R und die Gerade g eindeutig eine Ebene definieren.
(vieleicht wenn R nicht auf g liegt?)Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Ebene E1.
b)Der Punkt P ist der Spiegelpunkt des Punktes Q bei einer Spiegelung an einer Ebene. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Spiegelebene E2.
c)Bestimmen Sie die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen durch die Ebenen E1 und E2.
Die Ebenen E1 und E2 schneiden sich in einer Geraden s. Ermitteln sie eine Gleichung von s.
e)Die drei Koordinatenebenen und die Ebene E2 begrenzen eine Pyramide. Berechnen Sie deren Volumen!
Über ausführliche Erklärungen würde ich mich Freuen!
Gruß Markus |
gismo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 07. März, 2000 - 17:32: |
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Hallo Markus
a) Die Begründung, daß R und die Gerade g eine Ebene definieren, ist, daß R nicht auf g liegt, genau wie du vermutet hast. Um die Ebenengleichung zu ermitteln, bestimme einfach einen Vektor von irgendeinem Punkt der Geraden zum Punkt R. Dieser Vektor und der Richtungsvektor der Geraden bilden die zwei Richtungsvektoren der Ebene. Und einen Punkt der Ebene hast du ja auch schon: R. Du kannst also die Ebene sofort in Parameterdarstellung anschreiben. x=(-5/7/1)+r(1/1/-1)+s(-7/2/1)
Wenn du die Gleichungsdarstellung brauchst, dann mußt du die Parameterdarstellung einfach mit den Normalvektor der Ebene multiplizieren. Und diesen Normalvektor bekommst du, indem du von den beiden richtunsvektoren das Vektorprodukt bildest.
n=(1/1/-1)x(-7/2/1)=(3/6/9)=3(1/2/3)
nX = nR
x+2y+3z=12
b) Da P und Q an der Ebene E2 gespiegelt sind, muß E2 zwei spezielle Eigenschaften haben: P und Q müssen beide gleich weit von E2 entfernt sein, also der Mittelpunkt von P und Q muß ein Punkt der Ebene E2 sein, und die Strecke PQ muß normal auf E2 stehen. Mit diesen zwei Eigenschaften ist die Ebenengleichung schnell bestimmt:
Der Vektor PQ=(-6/-8/-6)=-2(3/4/3) ist Normalvektor der Ebene und der Mittelpunkt von PQ ist (P+Q)/2=(3/3/1).
Die allgemeine Form der Koordinatengleichung:
nX = nP
(3/4/3)(x/y/z)=(3/4/3)(3/3/1)
3x+4y+3z=24
c) die x-Achse ist jene Gerade, wo y und z gleich Null sind, also für y und z in die Ebenengeichung Null einsetzen. Übrig bleibt: 3x=24; x=8
Der Durchstoßungspunkt auf der x-Achse ist also (8/0/0). Genauso gehts bei der y- und der z-Achse.
E1 und E2 zu schneiden, heißt, das Gleichungssystem aus diesen zwei Geraden zu lösen:
3x+4y+3z=24
1x+2y+3z=12
2 Gleichungen mit 3 Unbekannten geht nicht. (merkregel: für jede unbekannte mindestens eine Gleichung). Also sagen wir einfach, x=t und t ist eine Konstante.
I: 4y+3z=24-3t
II: 2y+3z=12-t
I-II: 2y = 12-2t
y=6-t
II: 2(6-t)+3z=12-t
12-2t+3z=12-t
3z=t
z=t/3
unser Ergebnis ist also:
x=t = 0 + t*1
y=6-t = 6 + t*(-1)
z=t/3 = 0 + t*1/3)
wenn du dieses Ergebnis schön in folgender Form untereinanderschreibst und Vektorenklammern um die Spalten machst, hast du schon die gesuchte Geradengleichung:
(x/y/z) = (0/6/0)+t(1/-1/0,33333)
e) die Eckpunkte der Pyramide sind, wie in d bereits berchnet, (0/0/0), (8/0/0), (0/6/0), (0/0/8). Du hast sicher bereits eine Skizze gemacht. Nun ist die Frage, was wir in dieser Pyramide als Grundfläche und welchen Punkt als Spitze definieren. Ich sage einfach, das Dreieck (0/0/0)-(8/0/0)-(0/6/0) ist meine Grundfläche und (0/0/8) ist die Spize. Denn dann ist die Grundfläche ein Rechtwinkeliges Dreieck mit den Katheten 8 und 6, und die Höhe der Pyramide ist dann 8.
Die Volumsformel für eine Pyramide ist ja Grundfläche mal Höhe drittel.
Grundfläche ist 8*6/2=24.
V=24*8/3=64.
Die Pyramide hat ein Volumen von 64.
Reinhard |
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