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Laura (Ninja03)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 21:18: | 
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Könnt ihr mir helfen die ersten 4 Glieder dieser Gleichungen zu bilden?Nach der Mac Laurenschen Regel( die ich leider üüüberhaupt nicht checke!!):
y=viertel Wurzel aus(1+x)
und
y=2/(1-2x)
Dankeschön=0))) |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 08:02: |
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Hi Laura,
Zur Ermittlung der Reihenentwicklung der beiden
Funktionen
f(x) = 2 / (1-2 x) und g(x) = (1+x) ^ (¼)
in unendliche Reihen brauchen wir weder
Brook Taylor (1685-1731) noch
Colin Maclaurin (1698-1746) zu bemühen.
(bitte um richtige Schreibweise!)
Für f(x) können wir leicht eine unendliche
geometrische Reihe anschreiben;
für g(x) setzen wir die binomische Reihe ein.
a)
das Anfangsglied a der genannten geometrischen Reihe
lautet a = 2 ; der Quotient q ist 2*x
Die Konvergenzbedingung ist : q absolut kleiner 1,
also: x absolut kleiner ½.
Reihenentwicklunng:
f(x) = 2 + 4 x + 8 x ^ 2 + 16 x ^ 3 + 32 x ^ 4 +......
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b)
Für den Binomialkoeffizient n tief k schreiben wir b(n,k)
Die binomische Entwicklung der m-ten Potenz
von (1+x)^m laurtet:
(1+x) ^ m = 1 + b(m,1) x + b(m,2) x^2 + b(m,3)x^3 + b(m,4) x^4 +....
In unserem Beispiel ist m = ¼ zu setzen.
Welches sind nun die Binomialkoeffizienten, wenn m den Bruch
¼ darstellt
Antwort:
b( ¼ , 1 ) = 1 ,
b( ¼ , 2 ) = [ ¼ *( ¼ -1) ] / 2! = - 3/32
b( ¼ , 3 ) = [ ¼ (¼-1 )*( ¼ -2)] / 3! = 1/128
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somit
g(x) =1 + ¼ * x – 3/32 * x ^ 2 + 7/128 x ^ 3 – 77/2048 * x ^ 4 +........
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Konvergenzbedingung: x absolut < = 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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