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Hannes
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 17:52: | 
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Hallo,
Ich bitte um Hilfe bei der folgenden, recht schwierigen Aufgabe
Im allgemeinen Punkt P1 der Hyperbel b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2
wird die Tangente gelegt, welche eine der Asymptoten in S schneidet.
M und N seien die Fusspunkte der von S aus auf die Koordinatenachsen
gefällten Lote. Man beweise, dass die Gerade MN durch P1 geht.
Vielen Dank im voraus
Hannes |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 20:14: |
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Hi Hannes,
Die Steigung m der Hyperbeltangente t in P1(x1/y1) ergibt sich
durch implizites Differenzieren der Gleichung der Hyperbel
nach x:
b ^ 2 * 2 x – a ^ 2 * 2 y * y ` = 0 , draus
m = y` (x1) = ( b^2 * x1) / ( a ^ 2 * y1 ) …………………..(1)
Gleichung der Hyperbeltangente t:
y = y1 + m * (x – x1) mit m aus (1)………………………(2)
Gleichung einer Asymptote as :
y = b / a * x ……………………………………………...(3)
Schnitt t mit as (Gleichsetzung der y-Werte aus (2)und (3),
Auflösung nach x ,der Abszisse des Schnittpunktes
S von t und as):
xS = [ a ^ 2 * b ] / [ b*x1 – a * y1 ] ......................................(4)
daraus mit (3):
yS = [ a * b ^ 2 ] / [ b*x1 – a * y1 ]………………………...(5)
Damit erhalten wir auch die Koordinaten der Fusspunkte
der Lote auf der x-Achse und der y-Achse:
xM = xS , yM = 0
xN = 0 , yN = yS
Gleichung der Geraden g = MN
(Achsenform der Gleichung einer Geraden) :
x / xM + y / yN = 1
also
[b*x1 – a*y1] / [a^2 * b] * x + [b*x1 –a*y1] / [a * b^2] = 1…
oder
(b*x1 – a* y1) * b x + (b*x1 – a*y1 ) * a y = a^2 * b^2……(6)
Jetzt kommt die Nagelprobe :
Tatsächlich erfüllen die Koordinaten x1 , y1 von P1 die
Gleichung (6),w.z.b.w.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Hannes
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 10:31: |
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Hallo
Dank an H.R.Moser,megamath !
Hannes |
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