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Beitrag |
    
Rico Jurca (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 18:44: | 
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Also, ich hab hier ein Problem und keine Ahnung...
Gegeben seien die Ebenen E1: x^->=(1/0/1)+r(-1/2/1)+s(0/-1/1) und E2: (x^-> -(2/-1/-1))(1/-1/1)=0 und der Punkt P(2-a | a | -2+2a), aER
a) Stellen Sie die Ebene E1 durch eine Nomalengleichung und die Ebene E2 durch eine Punkrichtungsgleichung dar.
b) Die Schnittpunkte von E1 mit den Koordinatenachsen bilden ein Dreieck. Bestimmen Sie d. Umfang d. Dreiecks.
c)Bestimmen Sie d. Gleichung der Schnittgeraden von E1 und E2.
d) Bestimmen sie den Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2.
e) Zeigen Sie, dass der Punkt P für keinen Wert von a in der Ebene E2 liegt.
Häää??????
Bitte, ihr Mathegenies helft mir! Meine Note hängt davon ab.. VIELEN DANK! |
2002 (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 21:25: |
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BITTE, BITTE, die Zeit läuft davon..
Und ich bin hier nur stellvertretend für fast den halben Kurs.. Wir brauchen die gute Note. |
anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. Dezember, 2001 - 21:39: |
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Hallo 2002,
Zur Überschrift siehe Anmerkung von H:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/23866.html?1008092646 |
2002 (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 12:19: |
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Ja, ja, mir ist nichts besseres eingefallen... Helft mir (uns) lieber bei der Aufgabe. Habe noch einen Tag....... |
H
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 14:13: |
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Hallo 2002,
Denk weiter nach. Vielleicht findest Du doch etwas vernünftigeres. |
2002 (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 15:14: |
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Hey, bitte! Die Überschrift ist doch wirklich egal...
Die Aufgabe ist wichtig... DANKE |
H
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 21:11: |
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Hallo 2002,
Nein, die Überschrift ist nicht egal.
Man soll daraus erkennen um was es geht! |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 21:28: |
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Hi Rico,
Wir ermitteln zuerst eine Koordinatengleichung der Ebene
Die gegebene Parameterdarstellung lautet in skalarer Form:
x = 1 – r , y = 2 r – s . z = 1 + r + s
x , y , z sind die Koordinaten eines allgemeinen Punktes P(x/y/z)
der Ebene,
r und s sind die voneinander unabhängigen variablen Parameter.
Wir ermitteln drei Punkte P1,P2,P3 der Ebene E1:
Setze r = 0, s = 0 ; es kommt x = 1,y = 0, z = 1 ,also P1(1/0/1)
Setze r = 1, s = 0 ; es kommt x = 0,y = 2, z = 2 ,also P2(0/2/2)
Setze r = 0, s = 1 ; es kommt x = 1,y = -1, z = 2 ,also P3(1/-1/2)
Für die Koordinatengleichung der Ebene E1 setzen wir an:
a x + b y + c z = mit noch unbekannten Koeffizienten a, b,c,d
Im Sinne einer Normierung dürfen wir d = 1 setzen !
Es gibt dann drei Unbekannte : a , b , c die wir aus einem linearen
Gleichungssystem ermitteln.
Wir kennen nämlich drei Bedingungen:
P1 liegt auf der Ebene, daher gilt (setze die Koordinaten von P1 ein):
a + c = 1.
°°°°°°°°°
P2 liegt auf der Ebene, daher gilt (setze die Koordinaten von P2 ein):
2 b +2 c = 1
°°°°°°°°°°°°
P3 liegt auf der Ebene, daher gilt (setze die Koordinaten von P1 ein):
a - b + 2 c = 1
°°°°°°°°°°°°°°
Die Auflösung des unterstrichenen Gleichungssystems liefert
das Lösungstripel a = ¾, b = ¼ , c = ¼, sodass als Koordinatengleichung
der Ebene E1 die Gleichung
3 x + y + z = 4 angeschrieben werden kann.
==========
Diese Gleichung kann auch mit Hilfe des Vektorproduktes der
Vektoren
u = P1P2 = {-1;2;1}und v = P1P3 = {0;-1;1}hergeleitet werden.
Dieses Vektorprodukt n = u x v = {3;1;1} gibt einen
Normalenvektor der gesuchten Ebene E1.
Damit ist schon die linke Seite der Ebenengleichung ermittelt
d erhält man durch Einsetzen eines Punktes P1 (oder P2, oder P3).
Wir lösen noch die Aufgabe b)
Schnitt mit der x –Achse: setze y = z = 0
Wir erhalten den Punkt A(4/3 / 0 / 0 ).
Schnitt mit der y –Achse: setze z = x = 0
Wir erhalten den Punkt B( 0 / 4 / 0 ).
Schnitt mit der z –Achse: setze x = y = 0
Wir erhalten den Punkt C( 0 / 0 / 4 ).
Seitenlängen als Beträge der Vektoren AB,BC,CA
AB = {- 4/3 ;4 ; 0 }, Betrag : wurzel( 16/9+16) = 4/3*wurzel(10)
BC = {0;-4; ;4 }, Betrag : 4* wurzel(2)
CA = { 4/3 ;0 ; - 4}, Betrag : wurzel( 16/9+16) = 4/3*wurzel(10)
Fortsetzung folgt !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
2002 (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 22:10: |
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Vielen Dank schon mal... wie in meiner mail schon gesagt, kommen noch 2 Extraaufgaben hinzu. Und wir haben nur noch bis morgen 11.00 Uhr Zeit..?!?!
f) Zeigen Sie, dass der Punkt P für alle a in der Ebene E1 liegt.
g) Die Ebene E2 schneidet die x-Achse im Punkt X und die y-Achse im Punkt Y. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks XYP. (a=4)
Danke, danke, danke |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 22:36: |
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Hi Rico Jurca,
Um den letzten Teil Eurer Aufgabe zu lösen,
habe ich - wohl oder übel - eine Nachtsitzung
einzuschalten, zum Nachttarif, der nicht etwa
niedriger ist, im Gegenteil!
Wir sind immer noch bei der Ebene E1 und
schreiben sie vektoriell mit Hilfe des Skalarproduktes:
(x“ - a ) . n = 0
x“ ist der Ortsvektor OP des laufenden Punktes P(x/y/z)
der Ebene E1, a ist der Ortsvektor des Punktes P1(1/0/1)
n ein Normalenvektor dieser Ebene .
Es gilt: x“ = {x,y.z) , a = {1;0;1}, n = {3;1;1}
(x“-a) steht auf n senkrecht, daher ist das Skalarprodukt
dieser Vektoren null.
Nun zur Ebene E2.
In Umkehrung des Verfahrens von soeben bekommen wir
ihre Koordinatengleichung so:
Wir setzen das Skalarprodukt der Vektoren
{x-2;y+1;z+1}und {1;-1;1} null und bekommen:
x – 2 – y – 1 + z + 1 = 0 oder
x – y + z = 2 als Koordinatengleichung von E2
°°°°°°°°°°°°°
Teilaufgabe c)
Wir setzen in beiden Koordinatengleichungen z = 0
Das gibt das Gleichungsystemchen
3 x + y = 4
x – y = 2
Lösung: x = 3/2 , y = - ½ ,wir erhalten den Punkt
U(3/2 /- ½ / 0) auf der Schnittgeraden s der beiden Ebenen.
Wir setzen in beiden Koordinatengleichungen x = 0
Das gibt das Gleichungsystemchen
y + z = 4
– y + z = 2
Lösung: y = 1 , z = 3 ,wir erhalten den Punkt
V( 0 / 1 / 3 ) ) als weiten Punkt auf der Schnittgeraden s
der beiden Ebenen.
Der Vektor UV = {-3/2 ; 3/2 ; 3 } = ½ {-3 ;3 ; 6} gibt uns
einen Richtungsvektor der Schnittgeraden s;
mit V als Anfangspunkt kann eine Parametergleichung von s
angeschrieben werden ;diese lautet.
x = - 3 t , y = 1 + 3t , z = 3 + 6 t
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Teilaufgabe d)
Der gesuchte Winkel phi ist der Zwischenwinkel
der Ebenennormalenvektoren n1 = {3;1;1}von E1 und
n2 = {1;-1;1}von E2
Der Cosinus dieses Winkels ist gleich dem Quotienten
des Skalarproduktes n1.n2 = 3 – 1 +1 = 3 und dem Produkt
der Beträge dieser Vektoren
Also: cos(phi) = 3 / [ wurzel(11) *wurzel(3) ] = wurzel(3) /wurzel(11)
daraus phi = 58,52°
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Teilaufgabe e)
Wir machen die Probe aufs Exempel durch Einsetzen der Koordinaten
von P in die Gleichung d erEbene E2 und sind auf eien
Widerspruch gefasst;
das geht so:
2 – a - a –2 + 2 a = 0 statt 2 , ein Widerspruch, w.z.z.w.
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. Dezember, 2001 - 23:06: |
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Hi Rico,
Setze die Koordinaten von P in die Gleichung von E1 ein:
Es kommt auf der linken Seite der Ebenengleichung
3*(2-a) + a -2 + 2a = 6 - 3a + a – 2 + 2a = 4
UND SIEHE DA : der Parameter a hat sich weggehoben
die Gleichung ist erfüllt _ alles roger, alles o.k.
Nächster und endgültig letzter Streich:
Mit a = 4 kommt der Punkt P( -2/ 4 / 6) heraus.
Der Punkt X ergibt sich durch Nullsetzen von y und z
in der Gleichung von E2
X(2/0/0)
Der Punkt Y ergibt sich durch Nullsetzen von z und x
in der Gleichung von E2
Y(0/-2/0)
Nun bestimmen wir die Vektoren p = XP ={-4;4;6},
q =XY = {-2;-2;0}
Die Fläche F des Dreiecks XPY ist gleich dem halben Betrag des
Vektorproduktes der Vektoren p und q_
p x q = {12 ;-12 ;16 } = 4* { 3 ; – 3 ; 4 }
F = ½ * 4 * wurzel(34) = 2* wurzel(34)
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
2002 (Uio2002)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 17:36: |
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Vielen Dank nochmal. War echt Rettung in letzter Sekunde... |
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