Autor |
Beitrag |
Fred
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 14:23: |
|
Hallo, Hier eine schwierige Aufgabe, bei der ich mir nicht zu helfen weiss: Zeige: die Gerade y = m x + q berührt die Parabel y^2 = 4ax, wenn die Bedingung q = a /m erfüllt ist. Berechne die Steigungen m der gemeinsamen Tangenten dieser Parabel und des Kreises x^2 + y ^ 2 = a ^ 2. Ich bin für Hilfen sehr dankbar ! Fred |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 17:48: |
|
Hi Fred , Erster Teil In einer Vorbereitung berechnen wir den Achsenabschnitt q auf der y-Achse einer Parabeltangente, deren Berührungspunkt P1(x1/y1) vorgegeben sei. Die Steigung m ergibt sich durch implizite Differentiation der Parabelgleichung. 2 y y ` = 4 a , daraus m = y` = 2 a / y1………………………………(1) Gleichung von t : y – y1 = 2a / y1 * ( x – x1 ) , Schnittpunkt S mit der y-Achse: yS = q =y1 – 2a*x1/y1=y1–½ * y1 = ½ * y1, q = ½ * y1………………………………………(2) eine bekannte Eigenschaft der Parabeltangente ! Mit (1) wird daraus: q = ½ * 2 a / m = a /m w.z.b.w. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Zweiter Teil Die Gleichung y = m x + a/m stellt somit eine Parabeltangente t dar. Wir richten es nun so, dass t auch den Kreis berührt. Um diese Bedingung zu erfüllen, verwenden wir die renommierte Diskriminantenmethode. Schnitt des Kreises mit t: Nach Elimination von y entsteht die quadratische Gleichung in x: (1+m^2) * x ^2 + 2 a x + a ^2 * (1 / m ^ 2 – 1) = 0 Die Diskriminante D dieser Gleichung wird null gesetzt: D = 4 * a ^ 2 - 4 * a ^ 2 * (1+m^2) * (1/m^2 – 1 ) = 0 Wir erhalten eine biquadratische Gleichung für die Steigung m: m ^ 4 + m ^ 2 – 1 = 0 mit zwei reellen Lösungen m1,2 = plus/minus wurzel [ ½ * (wurzel(5) –1) ] , °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° ein sehr bemerkenswertes Resultat; der Term unter der ersten Wurzel ist uns aus der Teilung nach dem goldenen Schnitt bestens bekannt ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
|