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Parabel und Kreis:gemeinsame Tangente

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Fred
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 14:23:   Beitrag drucken

Hallo,

Hier eine schwierige Aufgabe, bei der ich mir
nicht zu helfen weiss:
Zeige: die Gerade y = m x + q berührt die Parabel
y^2 = 4ax, wenn die Bedingung q = a /m erfüllt ist.
Berechne die Steigungen m der gemeinsamen Tangenten
dieser Parabel und des Kreises x^2 + y ^ 2 = a ^ 2.

Ich bin für Hilfen sehr dankbar !

Fred
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 17:48:   Beitrag drucken

Hi Fred ,

Erster Teil
In einer Vorbereitung berechnen wir den
Achsenabschnitt q auf der y-Achse
einer Parabeltangente, deren Berührungspunkt
P1(x1/y1) vorgegeben sei.
Die Steigung m ergibt sich durch implizite
Differentiation der Parabelgleichung.
2 y y ` = 4 a , daraus
m = y` = 2 a / y1………………………………(1)
Gleichung von t :
y – y1 = 2a / y1 * ( x – x1 ) ,
Schnittpunkt S mit der y-Achse:
yS = q =y1 – 2a*x1/y1=y1–½ * y1 = ½ * y1,
q = ½ * y1………………………………………(2)
eine bekannte Eigenschaft der Parabeltangente !
Mit (1) wird daraus:
q = ½ * 2 a / m = a /m w.z.b.w.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Zweiter Teil
Die Gleichung y = m x + a/m stellt somit eine
Parabeltangente t dar.
Wir richten es nun so, dass t auch den Kreis berührt.
Um diese Bedingung zu erfüllen, verwenden wir die
renommierte Diskriminantenmethode.
Schnitt des Kreises mit t:
Nach Elimination von y entsteht die quadratische
Gleichung in x:
(1+m^2) * x ^2 + 2 a x + a ^2 * (1 / m ^ 2 – 1) = 0
Die Diskriminante D dieser Gleichung wird null gesetzt:
D = 4 * a ^ 2 - 4 * a ^ 2 * (1+m^2) * (1/m^2 – 1 ) = 0
Wir erhalten eine biquadratische Gleichung für die
Steigung m:
m ^ 4 + m ^ 2 – 1 = 0 mit zwei reellen Lösungen
m1,2 = plus/minus wurzel [ ½ * (wurzel(5) –1) ] ,
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

ein sehr bemerkenswertes Resultat; der Term unter
der ersten Wurzel ist uns aus der Teilung
nach dem goldenen Schnitt bestens bekannt !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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