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Stephan (Lendo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 10:46: | 
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Ein Erfrischungsgetränk soll in zylindrischen Dosen
angeboten werden. Das Volumen beträgt 330cm³.
Materialbedarf für die Dose soll gering gehalten
werden. Berechnen sie höhe und radius.
Ich weiß, dass ich die Formeln für Fläche und Volumen benötige.
F(ges)=4*Pi*r²+2*Pi*h
V(ges)=Pi*r²*h ==> h=V/(Pi*r²)
Wie stelle ich diese zwei Fkt. in ein Verhältnis?
Muss ich h in die F(ges) Fkt einsetzen?
Bitte helft mir ...
MfG Lendo |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 13:40: |
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Hallo Stephan!
Zunächst müssen wir uns im Klaren darüber sein, welche Größe einen Extremwert annehmen soll. In diesem Fall ist es die Oberfläche des Zylinders, die bei gegebenem Volumen miminal werden soll. Die Extremalbedingung lautet also:
O(h,r) = 2*pi*r² + 2*pi*h*r
Dieser Ausdruck ist nun von den beiden Variablen h und r abhängig. Es wird aber eine Funktion benötigt, die nur von einer Variablen abhängt, um für diese dann den Extremwert bestimmen zu können. Also brauchen wir eine Nebenbedingung, die durch das Volumen gegeben ist:
330 = pi*h*r² <=> h = 330/(pi*r²)
Das h wird nun in die Extremalbedingung eingesetzt, wobei sich dann eine Funktion der Oberfläche ergibt, die nur noch von r abhängt:
O(r) = 2*pi*r² + 2*pi*r*330/(pi*r²)
O(r) = 2*pi*r² + 660/r
Nun gilt es das r zu finden, wofür O(r) minimal groß wird. Dazu muss man die Ableitung der Funktion 0 setzen (waagerechte Tangente):
O'(r) = 4*pi*r - 660/r² = 0
<=> 4*pi*r = 660/r²
<=> r³ = 165/pi
=> rmin = 3,745 (ca.)
Um festzustellen, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt, muss man nun diesen Wert noch in die zweite Ableitung einsetzen. Diese muss dann einen positiven Wert annehmen (Vorzeichenwechsel der Ableitung von minus nach plus):
O''(r) = 4*pi + 1320/r³
O''(rmin) = 4*pi + 8*pi = 12*pi
Das ist anscheinend der Fall. Es liegt ein Minimum vor.
Nun ist noch h zu berechnen. Wenn man das rmin in die Nebenbedingung einsetzt, bekommt man das zugehörige hmin:
330 = pi*hmin*rmin²
<=> hmin = 330/(pi*3,745²) = 7,49 (ca.)
MfG, Integralgott |
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