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Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 09:55: | 
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Tach,
ich habe folgendes Problem:
gegeben sei ist die Funktionsschar
fa(x) = x + (a2-2a)/x mit a > 2
P(u|v) sei ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von fa im ersten Quadranten. Die Tangente an den Graphen im Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt T. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks OPT von der ersten Koordinaten des Punktes P unabhängig ist.
Ich krieg immer nur ein Ergebnis, das von u abhängt.
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe.
MfG,
Brainstormer |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 14:30: |
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Hi Brainstormer!
Nette Aufgabe... ;-)
Zunächst ist zu sagen, dass ich davon ausgegangen bin, dass a2 eigentlich a² sein soll. Da du dich ja bereits mit der Aufgabe beschäftigt hast, schreibe ich hier nicht alles hin. Die Tangentengleichung ist:
y = [1-(a²-2a)/u²]*x + [v-u+(a²-2a)/u]
Der Achsenabschnitt steht ja nun da, sodass die Grundseite des Dreiecks genau den Wert hat. Die Höhe des Dreiecks ist genau die x-Koordinate von P, also u. Der Flächeninhalt ist dann:
A = 1/2 * [v-u+(a²-2a)/u] * u
A = 1/2 * (uv-u²+a²-2a)
Dieser Ausdruck hängt noch immer von u ab. Allerdings lässt sich da was machen: Man setzt den Punkt P in fa(x) ein:
v = u + (a²-2a)/u = (u²+a²-2a)/u
<=> uv = u²+a²-2a
Wenn ich diesen Ausdruck in die Fläche einsetze passiert Folgendes:
A = 1/2 * (u²+a²-2a-u²+a²-2a) = 1/2 * (2a²-4a) = a²-2a
Dieses Ergebnis ist jetzt unabhängig von u; es hängt nur noch von a ab.
MfG, Integralgott |
Brainstormer (Brainstormer)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2001 - 15:06: |
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Tach,
schönen Dank für deine Hilfe. Die Idee erst am Ende den Punkt einzusetzen und dann nach u*v aufzulösen, hat mir gefehlt.
MfG,
Brainstormer |
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