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Grobi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 23:25: | 
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Bei folgender Aufgabe z.B. kriegt man en ziemlich kompliziertes Gleichungssystem:
Gesucht ist die Gerade, die die Geraden
a: (1/2/3) + b(4/5/6) und
c: (2/2/2) + d(2/3/4)
schneidet und durch den Punkt (2/7/2) geht.
Wie löse ich so ein Gleichungssystem (Zahlenwerte ruhig verändern)?
Denkbar sind ja auch andere Aufgaben dieser Art - wie löse ich solche komplizierten Systeme? In Büchern stehen nur die einfachen.
Vielen Dank im Voraus |
Grobi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 15:07: |
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Ich hab noch mal überlegt - das Beispiel hab ich selbst gelöst, aber wie löst man solche Gleichungssysteme allgemein? Man muß doch über ein Gleichungssystem gehen...
P.S.: hatte vergessen anzugeben, was ich mit Gleichungssystem meine:
Die gesuchte Gerade ist (2/7/2) + s(x/y/z)
=> 2 + sx = 1+ 4b (usw.)
(...)
2+ x = 2 + 2d (usw.)
(6 Gleichungen mit 6 Variablen) |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 16:48: |
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Hallo Grobi,
Strategie:
(Der Punkt heiße P).
1) Lege durch P und a eine Ebene E.
2) Bestimme den Durchstoßpunkt D von c mit E.
3) Die Strecke P nach D liegt auf der gesuchten Geraden h.
=========================
Ausführung:
1) Wir wählen 2 beliebige Punkte auf a:
(für b=0)..... M = (1;2;3)
(für b=1)......N = (5;7;9)
Vektor PM=M-P= (-1;-5;1)
Vektor PN=N-P = (3;0;7)
Gleichung der Ebene E: x = (2;7;2) + t(-1;-5;1) + s(3;0;7)
==========================
2)
x=2-t+3s = 2+2d
y=7-5t = 2+3d
z= 2+t+7s = 2+4d
===============
Aus diesen 3 Gleichungen d=5/2
und somit: x=7, y=19/2, z=12
Durchstoßpunkt D = (7;19/2;12)
=========================
3)
Vektor PD=D-P= (5;5/2;10)
Gleichung der gesuchten Geraden h:
x = (2;7;2) + r*(5; 5/2; 10)
============================= |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 16:52: |
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Hi Grobi,
Die von Dir gestellte Aufgabe, die so genannte Transversale t
zweier windschiefer Geraden a und c zu bestimmen, welche
durch einen vorgegebenen Punkt P geht, wird üblicherweise
folgendermassen gelöst :
Der Punkt P bestimmt mit der Geraden a eine Ebene E ,
welche von der Geraden c im Punkt S geschnitten wird.
Die gesuchte Transversale t ist dann die Verbindungsgerade
der Punkte P und S.
(t ist nichts anderes als die Schnittgerade der Ebenen
(P,a) und (P,c) ).
Ausführung für Dein Zahlenbeispiel.
Punkt A auf a: A(1/23)
Verbindungsvektor.........u = AP = {1;5;-1}
Richtungsvektor von a : v = { 4;5:6}
Vektorprodukt uxv = {35;-10;-15}= 5 *{7 ;-2;-3}
Vektor n = {7;-2 ,-3} als Normelenvektor der Ebene E
Gleichung von E im Ansatz: 7x – 2y – 3z = d
A(1/2/3) liegt auf E , das führt auf d = - 6, also
Ebene E :
7x – 2y – 3z = - 6
Gerade c in skalarer Parameterform:
x = 2 + 2 t, y = 2 + 3 t , z = 2 + 4 t, eingesetzt in die
Gleichung von E führt nach kurzer Rechnung auf t = 5/2 ;
damit erhalten wir für die Koordinaten des Schnittpunktes
S von c mit E:
xS = 7 , yS = 19/2 , zS = 12
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S bestimmt zusammen mit P die gesuchte Transversale.
Gruss
H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 16:58: |
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Gruss an Fern vom ewig Zweiten
H.R.Moser,megamath. |
Grobi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 08. Dezember, 2001 - 21:31: |
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So gehts natürlich einfacher, weil man die Aufgabe auf Standardprobleme zurückführt, was das unhandliche Gleichungssystem erspart.
Danke an euch beide |
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