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Beitrag |
    
pega00
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. Dezember, 2001 - 18:25: | 
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Hi ich würde mich wirklich sehr freuen wenn mir jemand diese
Aufgabe lösen könnte.
Ich brauch die Lösung unbedingt, sonst bin ich dran.
Bin in der 12.Klasse und habe GK Mathe.
Wir behandeln zur Zeit das Thema Integralberechnung.
Diese Aufgabe soll ein Mischung aus einer
Steckbriefaufgabe und einer Integralaufgabe sein.
Brauche sie bis Montag, wäre schön wenn mir
Jemand auch nur einen bestimmten Lösungsweg
Nennen könnte.
Dankeschön
Aufgabe:
Eine ganzrationale Funktion f mit Grad n = 3 geht durch O(0/0) und hat
dort die Steigung 0.
In P1 (1/y) hat der Graph von f einen Wendepunkt. Die Kurve schließt mit der
positiven x-Achse eine Fläche von 81/4 Flächeneinheiten ein. Bestimme eine
Funktionsgleichung! Gibt es noch eine zweite Lösung? Wie lautet sie? |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 09:44: |
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Eine ganzrationale Funktion 3.Grades hat die allgemeine Form
f(x)=ax³+bx²+cx+d
Ihre Ableitungen sind:
f'(x)=3ax²+2bx+c
f"(x)=6ax+2b
Bedingungen auswerten:
a) O(0/0) liegt auf der Kurve: f(0)=0 <=> d=0
b) Steigung in O gleich Null: f'(0)=0 <=> c=0
c) Wendepunkt bei x=1: f"(1)=0 <=> 6a+2b=0 <=> 2b=-6a <=> b=-3a
Alles in f(x)=ax³+bx²+cx+d einsetzen:
f(x)=ax³-3ax²
Nullstellen von f(x) bestimmen:
f(x)=0
<=> ax³-3ax²=0
<=> ax²(x-3)=0
=> x=0 oder x=3
4. Bedingung: Fläche
ò0 3f(x)dx=81/4
<=>ò0 3(ax³-3ax²)dx=81/4
<=> [(ax4/4)-ax³]30=81/4
<=> |(a*34/4)-a*3³|=81/4
<=> |(81/4)a-27a|=81/4
<=> |-27/4*a|=81/4 |*4
<=> |-27a|=81 |:27
<=> |-a|=3
=> a=3 oder a=-3
Es gibt somit zwei Kurven, die die Bedingungen erfüllen:
f(x)=3x³-9x² und f(x)=-3x³+9x²
Mfg K. |
Rudolf (Ruedi)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 07. Dezember, 2001 - 10:23: |
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Hallo K.
Habe wieder mal einiges gelernt bei Deiner Lösung. Ich selbst blieb nämlich irgendwo stecken. Aber Deine Lösung hat mir den Weg gezeigt.
Nichts desto trotz: Die negative Funktion mit a=-3 ist keine Lösung, weil die Kurve mit der positiven x-Achse die Fläche einschliessen muss. Die negative Funktion läuft vom 4. in den 2. Quadranten.
Trotzdem vielen Dank für Deine Lösungen. Sie sind immer gut nachvollziehbar.
Gruss Rudolf |
K.
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 22:03: |
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Hallo Rudolf
entschuldige bitte, dass ich nicht eher geantwortet habe. Kam mit meinen Antworten einfach nicht durch.
Danke für Dein Lob. Es freut mich, dass meine Antworten gut nachvollziehbar sind und somit zum Verständnis beitragen. Deine Lösungen erfüllen diesen Zweck aber auch immer. Sie gefallen mir sehr gut.
Allerdings bin ich noch immer der Meinung, dass die negative Funktion für a=-3 eine Lösung ist.
Habe beide Funktionen gezeichnet.
Die positive Funktion schließt mit der positiven x-Achse eine Fläche ein, die im 4. Quadranten liegt; die negative schließt mit der x-Achse eine Fläche ein, die im 1. Quadranten liegt.
Laut Aufgabenstellung musste die Funktion eine Fläche mit der positiven x-Achse einschließen.
Diese Forderung erfüllen beide Funktionen.
Mfg K. |
Rudolf (Ruedi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. Dezember, 2001 - 22:25: |
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Hallo K.
Sorry!! Du hast Recht. Ich habe vermutlich, bei der negativen Funktion auch b negativ genommen, also: -3x3-9x2.
Tut mir leid. Müsste das nächste Mal besser hin gucken.
Schönen Abend noch.
Gruss Rudolf |
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