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Christian
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 19:06: | 
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Wenn ich z.B. eine Kurvendiskussion zur funktion f(x)=e^(i*x) machen müsste, wie würde das aussehen, oder geht das gar nicht?
Und wie müsste man diese funktion zeichnen??
Es müsste sich ja durch das i eine dreidimensionale Fuktion ergeben, oder??(hierbei wenn ich mir das richtig überlegt habe eine art spirale um die x-achse, wenn man von oben drauf schaut sieht man eine cosinus-kurve und wenn man von der seite draufschaut eine sinuskurve)
Und dann würde mich noch interessieren was die Ableitung angibt(steigung der tangente?), und was die Stammfunktion und wie man diese bildet.
Als letztes hätte ich noch eine Frage zum wurzelziehen aus komplexen zahlen. Wenn man sich die ergebnisse anschaut, erbigt sich in der zahlenebene(wenn man die lösungspunkte verbindet) ein regelmäßiges vieleck. woran liegt das??
MfG
C. Schmidt |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 22:10: |
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Wenn Du nur den Wertebereich von f(x) komplex machst, kommst Du mit drei Dimensionen aus. Ist aber auch x komplex, dann müssen schon vier Dimensionen her.
Lassen wir x für heute mal reell bleiben, dann stimmt das mit der Spirale schon. Was "von oben" und "von der Seite" zu sehen ist, hängt natürlich davon ab, wie Du das Koordinatensystem im Schwerkraftfeld unseres Planeten orientieren möchtest. ;-) Die Cosinuskurve siehst Du jedenfalls, wenn Du den Realteil anschaust und der
Imaginärteil beschreibt die Sinuskurve.
-> Eulersche Formel:
e^(i*phi) = cos(phi) + i*sin(phi)
Ableitung und Integral gehen genau nach den selben Regeln wie im Reellen (Kettenregel):
f'(x) = i * e^(i*x)
Integral(f(x)*dx) = (1/i)*e^(i*x)
Es sind also auch Spiralen, die nur je um Pi halbe bzw. -Pi halbe phasenverschoben sind.
Warum bilden die n-ten Wurzeln W einer komplexen Zahl Z ein regelmäßiges n-Eck?
Ein n-Eck ist es, weil es stets genau n n-te Wurzeln gibt. (-> Fundamentalsatz der Algebra)
Die Wurzeln müssen alle den gleichen Betrag haben, weil |W|^n = |W^n| = |Z|.
Sie stehen in ganzzahligen Vielfachen eines n-tels des Phasenwinkels von Z
phi(Z) = arctan(im(Z)/re(Z))
phi(W) = (1, 2, 3... n) * phi(Z)/n
Grund: phi(W)*n = phi(W^n)
Das kann man über die Eulersche Formel zeigen, oder, das läuft aufs gleiche hinaus, über den Satz von Moivre:
( (cos(phi) + i*sin(phi) )^n = cos(n*phi) + i*sin(n*phi)
Man muß sich dabei nur vor Augen halten, daß die Winkel zyklische Größen sind - wenn man sie addiert oder multipliziert, bewegt man sich dabei eben ein- oder mehrmals im Kreis herum.
Daher gibt es zu jedem Winkel n verschiedene n-tel. Also 3 verschiedene Drittel, 4 verschiedene Viertel usw.
Gruß
Franz |
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