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Beitrag |
    
michaela
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. Dezember, 2001 - 17:21: | 
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Für k<0 ist die Funktion k gegeben durch fk(x)=-1/3 x³ +kx.Bestimme k so, dass die Normale im Wendepunkt des Graphen von fk mit dem Graphen von fk eine Fläche vom Inhalt 6. |
K.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 11:18: |
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Hallo Michaela
Wendepunkt bestimmen mit 2. Ableitung:
f'(x)=-x²+k
f"(x)=-2x=0 <=> x=0
mit f(0)=0 folgt W(0/0)
Steigung im Wendepunkt mit 1. Ableitung:
f'(0)=k=Steigung der Kurve
=> Steigung der Normalen = -1/k
Da die Normale durch W(0/0) geht, hat sie die Gleichung
y=-(1/k)*x
Schnittpunkt von Normale und Kurve:
-(1/k)*x=-(1/3)x³+kx
<=> -(1/3)x³+kx+(1/k)*x=0
<=> x(-(1/3)x²+k+(1/k))=0
=> x=0 oder
-(1/3)x²+k+(1/k)=0 |*-3
<=> x²-3k-(3/k)=0
<=> x²-(3k²-3)/k=0
<=> x²=(3k²-3)/k
=> x1,2=±Ö(3k²-3)/k
A=2*ò0 Ö(3k²-3)/k[-(1/3)x³+kx+(1/k)x]dx
=2*[-(1/12)x4+kx²/2+(1/2k)x²]Ö(3k²-3)/k0
=2*|-(1/12k²)(3k²-3)²+(k/2)*(3k²-3)/k+(1/2k)*(3k²-3)/k|
=2*|-((3k²-3)²/12k²)+(1/2)(3k²-3)+(1/2k²)(3k²-3)|
=(1/(6k²))*|-(3k²-3)²+6k²(3k²-3)+6(3k²-3)|
=(1/(6k²))*|(3k²-3)(-(3k²-3)+6k²+6)|
=(1/(6k²))*|(3k²-3)(-3k²+3+6k²+6)|
=(1/(6k²))*|(3k²-3)(3k²+9)|=6
<=> (3k²-3)(3k²+9)=36k²
<=> 3(k²-1)*3(k²+3)=36k²
<=> (k²-1)(k²+3)=4k²
<=> k4+2k²-3=4k²
<=> k4-2k²-3=0
u=k²
u²-2u-3=0
=> u1,2=1±Ö(1+3)
=> u1=1+2=3 u2=1-2=-1
k²=3
=> k=±Ö3
Mfg K. |
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