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Anne
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 18:19: | 
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Hallo!!!
Es wäre super nett, wenn sich jemand, der sich mit Mathe auskennt, mit dieser Aufgabe beschäftigen würde. Ist ziemlich kompliziert zu beschreiben, hatte es auch schon mit zeichnen probiert, aber das ist in die Hose gegangen. Also ich versuchs mal:
Man stellt sch einen Krug vor, der aussieht wie ein Trapez, das zwei gleichlange Seiten hat. Dabei werden die zwei gleichlangen Seiten als a bezeichnet, zusätzlich ist noch eine 3. Seite als a gegeben.
Wenn die zwei gegenüberliegenden a Seiten in ihrem
Winkel verändert werden, verändert sich auch die Fläche des ganzen Trapez (beide Winkel sind gleichgroß). Fläche soll maximal werden. Die Winkel liegen genau zwischen einer a Seite und , ich nenne es jetzt mal Höhe, des ganzen. Ist zum Beispiel der Winkel 0 so würde das Trapez zum Quadrat werden. Ist der Winkel 90°, so hätte man nur noch eine Gerade mit der Länge von drei a.
Ich hoffe, dass es jemand verstanden hat und mir möglichst schnell helfen kann.
Danke!!!
Anne |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Dezember, 2001 - 01:33: |
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Hallo Anne!
Die Höhe bekommt einmal den Buchstaben h, die noch nicht bezeichnete vierte Seite des Trapezes den Buchstaben b. Dann gilt für den Flächeninhalt:
A = h*[(a+b)/2]
Nun braucht man die Fläche in Abhängigkeit des Winkels alpha, der zwischen 0° und 90° liegen soll. Man ersetzt
h = a*cos(alpha)
b = a + 2*a*sin(alpha)
Nach Zusammenfassen bekommt man für die Fläche:
A(alpha) = a²*[cos(alpha) + sin(alpha)*cos(alpha)]
Gesucht ist das Maximum der Funktion, also muss die Ableitung Null gesetzt werden:
A'(alpha) = a²*[cos²(alpha) - sin²(alpha) - sin(alpha)]
Trigonometrischer Pythagoras gibt:
A'(alpha) = a²*[1 - 2*sin²(alpha) - sin(alpha)]
substituiere sin(alpha) = z
-2z² - z + 1 = 0
z²+(1/2)*z-(1/2) = 0
p-q-Formel ergibt die Lösungen (1/2) und (-1). Da sin(alpha) zwischen 0° und 90° nicht (-1) wird, ist die einzige Lösung sin(alpha) = (1/2) und damit ist
alpha = 30°
Überprüfung mit der zweiten Ableitung bestätigt ein Maximum.
Eingesetzt in A(alpha) ergibt sich eine Fläche von
Amax = (3/4)*sqrt(3)*a²
was ca. 1,3mal so groß ist, wie das Quadrat für einen Winkel von 0°.
MfG, Integralgott |
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