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Michael (Crawlernet)
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. Dezember, 2001 - 14:57: | 
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Hallo wir haben folgende aufgabe zu lösen wobei ich absolut nicht weiterkomme, ich weis leider den Rechenweg nur bis zur EXTREMA aber mehr leider nicht :-(.
Na gut werde ich mal das Problem vorstellen
Gegeben sei eine Funktion
fa(x)= x*(a-lnx) aeR
Zeigen sie, das die Extrempunkte auf der Winkelhalbierenden des ersten Quadranten liegen.
Ich habe einen leichten ansatz aber ich weis leider nicht wie ich den Umsetzen soll, und zwars ist die Gleichung der Halbierenden y=x
und dies gleichsetzen mit der I. Ableitung aber ich bin nicht so sicher.
Wäre nett w3enn jemand helfen könnte.
MFG Michael |
Mulder
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 11:08: |
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f_a(x)= x*(a-ln(x)) = xa - x ln(x)
=> f'_a(x) = a - ln(x) - 1
=> f''_a(x) = -1/x
=> Extremum ist Maxima und liegt bei
0 = f'_a(x_0) = a - ln (x_0) -1
=> x_0 = e^(a-1)
=> y_0 = f_a(x_0) = ae^(a-1) - e^(a-1)ln(e^(a-1))
= ae^(a-1) - (a-1)e^(a-1) = e^(a-1) = x_0
=> fürs Extremum (x_0,y_0) gilt x_0 = y_0 q.e.d. |
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