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Franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 22:46: | 
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Bitte mitrechnen: Bezüglich des Schwerpunktes verschwindet das Drehmoment des Körpers M=INT rXdF hinsichtlich der Gewichtskraft. Da sich die zur y-Achse symmetrischen Punkte jeweils neutralisieren, kann man die Masse tatsächlich auf den y-Achse zwischen 0 und r zusammenschieben und den Schwepunkt dieses "Stabes" ermitteln.
Den Halbkreis zerschneidet man parallel der x-Achse zu Streifen der Breite dy, die jeweils eine Masse proportional der Streifenfläche dy*2*x tragen.
Schwerpunkt y=s; Gleichgewichtsbedingung (rXgdm): INT[y=0..r](y-s)2xdy=0 x=WURZ(r^2-y^2), also s=INT[0..r]yWURZ(r^2-y^2)dy / INT WURZ(r^2-y^2)dy .. siehe Tabelle unbestimmter Integrale ...s = 4r/(3pi) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. März, 2000 - 20:20: |
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Hi Valentin,
Du kannst Deine Aufgabe auch auf eine sehr elegante Art lösen , indem Du eine schon bald 400 Jahre alte Methode anwendest., nämlich eine der Regeln von Guldin.
Die Regeln von Guldin (1577...1643) lauten:
1.Regel:Rotiert eine gegebene ebene Linie um eine sie nicht schneidende Achse derselben Ebene, so ist die Oberfläche der von ihr erzeugten Rotationsfläche gleich dem Produkt aus der Länge der Linie und der Länge des Weges ihres Schwerpunktes ; letzere stimmt mit einem Kreisumfang überein .
2.Regel:Rotiert eine ebene Figur um eine in ihrer Ebene liegende Achse, so ist das Volumen des von ihr erzeugten Rotationskörpers gleich dem Produkt aus dem Inhalt der Fläche und der Länge des Weges ihres Schwerpunktes.
Für Deine Halbkreisfläche wendest Du die zweite Regel an : ys sei der Abstand des Schwerpunktes von der x-Achse ,welche die Rotationsachse ist. Der Halbkreis erzeugt das Kugelvolumen V = 4/3 * Pi * r^3, die Halbkreisfläche ist F = Pi * r^2 / 2 ,
der Weg des Schwerpunktes bei der Rotation:: L = 2* Pi * ys.
Aus der Gleichung V = F * L folgt sofort ys = 4 * r / (3*Pi) wie schon Franz errechnet hat.
Der Schwerpunkt einer Halbkreislinie (Betonung auf "Linie") hingegen wird mit der ersten Guldinschen Regel berechnet wie folgt.
Oberfläche der Kugel ,welche bei der Rotation des Halbkreises entsteht: A = 4 * P * r ^ 2 ,
Länge s der erzeugenden Linie (Halbkreis) s = r * Pi , L wie soeben .
Wir erhalten die Gleichung nach Guldin : A = s * L , daraus ys = 2 / Pi * r
Deine Aufgabe bezüglich des Volumens und der Mantelfläche eines Rotationsparaboloides, welche du kürzlich gestellt hast, kann übrigens auch mit Guldin gelöst werden, wenn man
vorher ganz cool die Fläche eines Parabelsegmentes und die Länge eines Parabelbogens berechnet
Ich werde Dir das gelegentlich vorführen, wenn Du daran interessiert bist.
Selbstverständlich sollte bei der Berechnung von Schwerpunktskoordinaten auch die Verwendung von Integralen zum Zuge kommen. In Deiner Aufgabe kann ein Doppelintegral
benützt werden; zum Ausgleich tritt die Gleichung des Halbkreises ohne Wurzelterm auf, nämlich bloss in der Form r^2 - x^2 wie die folgende Rechnung zeigt.
Auf der linken Seite der untenstehenden Gleichung steht das Drehmoment des Halbkreises mit der im Schwerpunkt konzentrierten Fläche bezüglich der x-Achse auf, nämlich ½ * Pi * r^2 * ys , rechts steht das über die ganze Halbkreisfläche erstreckte Doppelintegral der Drehmomente der Flächenelemente dx *dy bezüglich der x-Achse Die Gleichung sieht so aus :
½* Pi * r^2* ys = int int( y * dx * dy ) (Grenzen für x : -r bis + r , für y : 0 bis y ) =
int dx int y dy (Grenzen wie vordem) = ½ * int(y^2 dx ) ( Grenzen für x : - r bis + r )
= ½* int(r^2 - x^2) dx (Grenzen: x = - r bis + r ) = 2 / 3 * r ^3 , daraus folgt der Wert
ys = 4 / (3*Pi) * r wie oben !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
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