| Autor |
Beitrag |
    
Mark
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 18:58: | 
|
Hi, könnt Ihr mir bei diesen Aufgaben helfen?
1. Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=12x/(x²+5)
Ihr Schaubild sei K.
a) Wo schneidet die Normale an K im Punkt P(1/?) die x-Achse ?
b) Die Tangente an K im Punkt P(1/?) schneidet K in S. Berechnen Sie die Koordinaten von S.
2. Vom Punkt R aus werden die Tangenten an das Schaubild von f gelegt. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte und geben Sie die Gleichung der Tangenten an.
a) f(x)=Wurzel aus 2x-4 ; R(2/1)
THX, Mark |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 15:27: |
|
Hi Mark,
Zur ersten Aufgabe:
a)
yP = 2 durch Einsetzen von xP = 1 in
die Funktionsgleichung, somit
P = P1 (1 / 2 )
Ableitung y` von y mit der Quotientenregel:
y ` = 12* [x ^ 2 + 5 - 2 x ^ 2] / [(x ^ 2 +5 ) ^ 2 ]
= 12 * [5 - x ^ 2 ] / [( x ^ 2 + 5 ) ^ 2 ],daraus
Steigung m1 der Kurventangente t in P1(1/2):
m1 = y `(1) = 4/3
Die Steigung m2 der Kurvennormale n in P1 ist
dazu entgegengesetzt reziprok, also
m2 = - ¾
Gleichung von n: y = - ¾ *x + q
Da n durch P1 geht, ist q = 11/4 , mithin:
n: y = - ¾ *x + 11/4
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
b)
Gleichung der Tangente t :
y = m1*x + r = 4/3*x + r
Da t durch P1 geht, kommt r = 2 / 3, somit
t: y = 4/3 * x + 2/3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Schnitt von t mit der Kurve
Gleichsetzung der y-Werte führt auf die vereinfachte Gleichung
dritten Grades in x für die x-Werte der Schnittpunkte:
2 x ^ 3 + x ^ 2 – 8 x + 5 = 0
Zwei Lösungen x1 und x2 kennen wir schon ; es ist
wegen der Berührung von t in P1 die Doppellösung x1=x2=1
Das Polynom dritten Grades in x auf der linken Seite
der Gleichung ist somit durch (x-1)*(x-1) = x^2–2x +1
teilbar.
Resultat der Division: 2*x + 5 ; durch Nullsetzen kommt:
x = x3 = - 5 / 2 als dritte Lösung
Der gesuchte Schnittpunkt S hat somit die Koordinaten
xS = - 5 / 2 , yS = - 8 / 3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath, |
|
