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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. März, 2000 - 22:17: | 
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Hallo Valentin,
gilt c=3 oder gilt die Figur? |
Franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 08:37: |
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y=bx^2+c; x=WURZEL((y-c)/b); y>=0. Man schneide das Paraboloid in Scheiben senkrecht zur y-Achse, Radius x, Dicke dy, Volumen also INTEGRAL[y=y1..y2]pi*x^2dy; x s.o.
Die Mantelfläche M ergibt sich aus den Seitenflächen der Scheiben, mittels der Bogenelementen (im Schnitt). ds^2=dx^2+dy^2..dM=2pi*x*ds..; dy=y'dx; M=INTEGRAL[x1..x2]2pi*x*WURZEL(1+(2bx)^2) dx; tja... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 13:25: |
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Ich versuche , Dir eine vollständige Lösung Deines Problems zu geben :
1) Wir müssen zuerst die Gleichung der Parabel aufstellen ; Ansatz y = ax^2 + c
Die Kurve ist ja zur y -Achse symmetrisch, daher entfällt das lineare Glied.
Die Parabel geht durch die Punkte (0 /-c) und (10/25). Durch Einsetzen dieser Werte in unseren Ansatz erhalten wir a , c und damit die Gleichung: y = 7 / 25 * x^2 - 3 ; nach x^2 aufgelöst ergibt sich : x^2 = 25 / 7* ( y +3); wir werden diesen Term bei der Hi Valentin,
Volumenberechnung benötigen.
2) Berechnung des Volumens V als bestimmtes Integral in der Variablen y mit unterer
Grenze 0 , oberer Grenze 25 (Siehe Theorie in Lehrbüchern) :
V = int ( Pi * x^2 * dy ) = int ( Pi* 25 / 7 * ( y + 3 )* dy in den genannten Grenzen.
Werden diese im unbestimmten Integral J = 25*Pi/7 * ( y^2 / 2 + 3y ) eingesetzt , so
erhält man das gesuchte Volumen zu V = 25*Pi /7 *775 / 2 = 19375 /14 * Pi.
Durch 4347.74 ist ein Näherungswert für V gegeben.
Wenn Du noch ein wenig Geduld hast , kann ich Dir auch noch die Mantelfläche berechnen
Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser, megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. März, 2000 - 13:41: |
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Hi Valentin,
Die Berechnung der Mantelfläche M ist ein wenig komplizierter
3 ) Die Mantelfläche M berechnet man mit dem folgenden Integral::
M = 2* Pi * int ( x * wurzel ( 1 + (dx/dy)^2))*dy in denselben Grenzen wie unter 2)
Diese Formel findet man ebenfalls in Formelsammlungen , jedoch sind meistens x und y
in der Rolle vertauscht; dx/dy in der obigen Formel ist die Ableitung der Funktion
x = x ( y ) nach y .
Nun lassen wir los.! Wir berechnen die soeben genannte Ableitung aus der nach x
aufgelösten Parabelgleichung , nämlich aus x = 5/wurzel(7) * wurzel ( y +3 ) ; wir
erhalten daraus : dx / dy = 5 / wurzel (7) * ( 1 / (2 wurzel(y+3)). Damit entsteht der
im Integral auftretende Term 1 + (dx/dy)^2 = ( 28*y + 109 ) / ( (28*(y+3) )
(bitte genau nachrechnen !) Daraus ist die Quadratwurzel zu ziehen. Setzt man das
Resultat im Integranden ein, so hebt sich die Wurzel aus (y+3) weg ,und es bleibt das
einfach zu berechnende Integral für die Mantelfläche übrig, nämlich
M = Pi * 5 / 7 * int ( wurzel (28*y+109 )*dy ) in den genannten Grenzen y=0 bis y =25 .
Das zugehörige unbestimmte Integral ist durch die folgende Funktion in y gegeben:
1/28 * 2/3 * (28*y+109) ^ 1.5 . Als Wert für M erhalten wir schliesslich :
M = 5 * Pi / 294 * ( 809 ^1.5 - 109 ^ 1.5) , als Näherungswert kommt 1168.60
4) Wir schliessen eine Plausibilitätsbetrachtung für die berechneten Werte für V und M an ,
indem wir diese Werte mit dem Volumen und der Mantelfläche eines geeigneten Rotationskegelstumpfs vergleichen.
Zu diesem Zweck schneiden wir die Parabel mit der x-Achse und erhalten als pos. x-Wert des Schnittpunktes r = 5 * wurzel (3/7). Dies sei der kleine Radius r des Kegelstumpfs, der grosse Radius R ist der Radius des Parallelkreises in der Höhe h = 25 , also gilt R = 10.
Dieser Kegelstumpf ist unserem Paraboloid eingeschrieben .Die numerischen Werte des
Volumens V* und des Mantels M* des Stumpfes sind etwas kleiner als die entsprechen-
den Werte beim Paraboloid. Wir bekommen:
V* = Pi * h /3 * ( R^2 + r^2 +R r) = 3755 < 4348 und
M* = Pi * s* (R+r) = 1080 < 1169
N.B .s ist die Länge einer Mantellinie des Stumpfes; es gilt s = wurzel (( R -r ) ^ 2 + h ^ 2 )
Damit ist alles geklärt und ich wünsche viel Vergnügen beim Studium
Mit den besten Wünschen und Grüssen
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. März, 2000 - 19:52: |
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Hi Valentin,
Im folgenden möchte ich Dir eine noch etwas allgemeinere Lösung Deiner Aufgabe zur
Berechnung des Volumens und der Mantelfläche eines Rotationsparaboloides vorstellen.
Zuerst lösen wir die zwei Grundaufgaben für einen Parabelbogen O P1 (x1 / y1) , welcher durch die Gleichung y^2 = 2 p x (p: Parameter der Parabel) gegeben ist.
1) Man berechne das Volumen V des vom Bogen bei der Rotation um die x-Achse erzeugten Paraboloids.
2) Man berechne die Mantelfläche M des vom gleichen Bogen bei der Rotation um die x-Achse erzeugten Paraboloids.
Lösung
Zu 1) V = Pi* int(y^2 dx) ; (Grenzen 0 bis x1); = 2p*Pi *int (x dx) ; (Grenzen dieselben ) = 2 p * Pi * x1 ^ 2 / 2 = ( x 1 * 2 p x1 * Pi ) / 2 = x1 * y1^2 * Pi / 2 ,
also : V = Pi/2 * x1 * y1 ^2 (Formel I)
Zu 2) Hier müssen wir Vorarbeit leisten : aus y^2 = 2px folgt dy/dx = p/y, mit dem Differential der Bogenlänge ds kommt aus ds^2 = dx^2 + dy^2 :
(ds/dx)^2 = (p^2 + y^2) / y^2 = (p^2 + 2px) ) y^2 daher ds/dx = 1/y *wurzel(p^2 + 2px)
oder yds = dx * wurzel ( p^2 + 2px).
Nun setzen wir wurzel (p^2+2px) = z , somit p^2 + 2px = z^2 , pdx z dz oder y ds = z^2 dz / p. Als Mantelfläche M erhalten wir :
M = 2*P1 * int (y ds ) ; (Grenzen 0 bis x1) = 2 Pi / p * int (z^2 dz) ; (Grenzen entsprechend in z) = 2 Pi / (3p) * (p ^ 2 + y ^ 2 ) ^ (3/2) ; mit Grenzen o bis y1);
Schliesslich : M = 2* Pi / (3*p ) * ( ( p^2 + y^2 ) ^(3/2) - p^3) ( Formel II )
Den Anschluss an Deine Aufgabe gewinnen wir , wenn wir Deine Parabel in einem
modifizierten (x,y)-Koordinatensystem darstellen ( x-Achse als Parabelachse, Scheitel im Nullpunkt).Die Gleichung der Parabel bezüglich dieses Systems lautet : y^2 = 25 / 7 * x ,der Parameter ist p = 25 / 14 . Die Parabel geht durch die Punkte P1 ( 3 ; 5 * wurzel(3/7) ) und P2 ( 28 ;10).. Dies entspricht genau Deinen Vorgaben !
P1 ist sozusagen der Anfangspunkt , P2 der Endpunkt für die Bestimmung der gesuchten Daten.
Man erhält mit Formel (I) als Differenz durch Einsetzen der numerischen Werte :
V= V2 -V1 = Pi / 2 * (x2 * y2 ^ 2 - x1 * y1 ^ 2) = 4347,74 Volumeneinheiten
Entsprechend mit Formel (II) , ebenfalls als Differenz,
M = M2 - M1 = 2*Pi/(3*p) * ( ( p^2 + y2 ^ 2)^(3 / 2) - p^3 - ((p^2 - y1^2)^(3 /2 ) -p^3))
(p^3 in der letzten Klammer hebt sich uns zuliebe weg ! ) = 1168,60 Flächeneinheiten.
Damit ist dasselbe Schlussresultat erreicht wie bei einer früher dargelegten Methode,
und das ist beruhigend und ermunternd zugleich !
Mit freundlichen Grüssen
H.R. |
Wirz Rüdiger
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. September, 2000 - 14:49: |
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eine bekannte hat ein math. problem, auch ich weiß auf folgendes keine antwort...:
y=x hoch n
hierzu gibt es 4 x-werte und entsprechende y-werte
ges.: n
wie wird die formel nach n aufgelöst?
für hilfe wäre ich sehr dankbar! |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. September, 2000 - 00:12: |
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Hi Wirz Rüdiger!
Die Gleichung
y=xn
lässt sich (für positive x- und y-Werte) umformen zu
n=logx(y) (sprich: Logarithmus von y zur Basis x)
Das ist wiederrum das Selbe wie
n=ln(y)/ln(x)
oder wie
n=lg(y)/lg(x)
"ln" ist der sog. nat. Logarithmus, "lg" der Zehnerlogarithmus. Mindestens einer von beiden müsste auf (mathematischen) Taschenrechnern vorhanden sein... Welchen man verwendet, ist egal und führt zum selben Ergebnis...
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
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