| Autor |
Beitrag |
    
Jan (Grube)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 15:27: | 
|
Hallo, ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:
fa(x)=(lnx+a)/x
Hochpunkt habe ich schon errechnet, ist e^(1-a)
Aufgabe.
1. Für welches a(aus R) ist der Abstand des Hochpunktes von fa minimal?
2.Betrachten sie das rechteck, das im ersten Quadranten von den Achsen un den Parallelen zu diesen durch den Hochpunkt berandet wird. Weisen sie nach, dass der Graph von fa den Inhalt des Rechtecks halbiert.
3.Zeigen sie, dass das Dreieck, gebildet aus Achsen und Wendetangente, einen von a unabhängigen Inhalt hat.
Ich bin dankbar für jede Art von Hinweis.
Dabei habe ich schon erfahren, dass der Inhalt o,5 beträgt, mir fehlt aber der Nachweis. |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 18:28: |
|
1.) verstehe ich nicht, Hochpunkt ist doch Punkt des Graphen, also ist der Abstand für alle a minimal! Oder worauf bezieht sich "Abstand" sonst?
vielleicht auf den Ursprung???
2.) HP(e^(1-a)/e^(a-1))
Flächeninhalt des Rechtecks
A= e^(1-a)*e^(a-1)=e^0=1
Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse:
lnx+a=0
lnx=-a
x=e^(-a)
Betrachte nun das Integral von e^(-a) bis e^(1-a) (lnx+a)/x dx
F(x)=ln^2(x)/2+alnx
F(e^(1-a))-F(e^(-a))=(1-a)^2/2+a(1-a)-(a^2/2-a^2)=(1-2a+a^2)/2+a-a^2-1/2a^2=1/2-a+1/2a^2+a-a^2+1/2a^2=1/2 q.e.d.
3.)
WP(e^(3/2-a)/[3e^(a-3/2)]/2)
f'(e^(3/2-a)=-e^(2a-3)/2
[3e^(a-3/2)]/2=[-e^(2a-3)/2]*e^(3/2-a)+b
[3e^(a-3/2)]/2=-e^(a-3/2)/2+ b
2e^(a-3/2)=b
y= (-e^(2a-3)/2)x+2e^(a-3/2)
schnittpunkt mit x-achse
0=(-e^(2a-3)/2)x+2e^(a-3/2)
-2e^(a-3/2)=(-e^(2a-3)/2)x
4e^(-a+3/2)=x => (4e^(-a+3/2)/0)
schnittpunkt mit y-achse
b=2e^(a-3/2)
Adreieck= (1/2)4e^(-a+3/2)*2e^(a-3/2)=4
Gruß
Peter |
|
