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Miriam
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 19:30: | 
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Kann mir jemand bei der Herleitung der folgenden Formel für das Volumen eines Kugelabschnitts, mit der Höhe h und dem Radius r, helfen?
V = 1/3*pi*h^2(3r-h)
Als Hilfe in meinem Buch ist angegeben, man solle dazu das entsprechende Rotationsvolumen zur Kreisfunktion x-> Wurzel aus (r^2 - x^2) berechnen, aber das hilft mir irgendwie nicht. Hat einer von euch eine Ahnung, wie man die Formel herleiten kann? Wäre sehr nett!
Viele Grüße,
Miriam |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 13:39: |
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Hi
Du findest eine Arbeit von mir
zum Thema im Archiv unter dem Stichwort
"vogue", Datum 1.April 2001.
Es handelt sich nicht um einen Aprilscherz,
die Arbeit ist recht seriös !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Miriam
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 15:57: |
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Hallo Herr Moser,
habe dort schon nachgeschaut, aber die Ausführungen nicht wirklich verstanden. Bezieht sich die Arbeit vom 1. April wirklich genau auf die Herleitung, die ich machen muss?
Können Sie mir vielleicht nur schnell den Ansatz erklären?
Vielen Dank im Voraus,
Miriam |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 19:11: |
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Hi Miriam,
Am besten ist es wohl, ich leite die gewünschte Volumenformel
nochmals her.
Unter einem Kugelsegment verstehen wir bekanntlich einen Teil
des Kugelvolumens, der durch eine Ebene von der Kugel
abgeschnitten wird.
Die Kugel vom Radius r entstehe durch Rotation eines
Halbkreises vom Radius r, Mittelpunkt im Nullpunkt O des
(x,y)-Koordinatensystems um ihren Durchmesser auf der x-Achse.
Gleichung dieses Halbkreises:
y = wurzel (r ^ 2 -x ^ 2 )
Wir benützen die Volumenfomel V = Pi * int [ y ^ 2 * dx ]
Um nun das Volumen des Kugelsegmentes zu erhalten,
setzen wir die Integrationsgrenzen so an:
untere Grenze r – h , obere Grenze r
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V = Pi * int [r^2-x^2] * dx = Pi * {r ^ 2 *x – 1/3* x^3 }
in den genannten Grenzen; somit:
V = Pi* [ r^3 –1/3 r^3 - { r^2*(r-h)-1/3*(r-h)^3}]
=1/3*Pi*[ 3 r ^ 2 * h - r ^ 3 + ( r - h ) ^ 3 ] =
1/3 * Pi * [ 3 r ^2 * h – r ^ 3 + r ^3 – 3 r ^ 2* h - h ^ 3 …]
= 1/3 * Pi * [ 3 * r * h ^2 – h ^3 ] = Pi * h ^2 / 3 * ( 3 * r – h )
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
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