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Mike Montel (Mike_Montel)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 16:14: | 
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Die Funktion (x-2)^2 *e^x ist gegeben. Für die erste Ableitung bin ich auf folgendes Ergebnis gekommen: f'(x)=e^x(3x^2 -8x +4)
Ist das Richtig? Und wie lauten die Extrempunkte?
Danke. |
AAnonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 22:06: |
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e^x ist absolut nicht meine Stärke, also nimm dies nur als Gedankengang.
(x-2)^2; Kettenregel: aüßere Ableitung mal innere Ableitung mal innere Form; also 2*1*(x-2); 2*(x-2)
e^x ergibt abgeleitet auch e^x.
Nun greift die Produktregel: f´(x)=u´(x)*v(x)+u(x)*v´(x).
Also (2*(x-2))*e^x+((x-2)^2)*e^x.
Da e^x nicht den Wert Null annimmt kannst du durch e^x teilen.
Übrig bleibt: 2*(x-2)+(x-2)^2
= 2x-4+x^2-4x+4
= x^2-2x |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 22:30: |
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Hi!
Das mit dem Teilen ist Unsinn! Da steht doch dann f'(x) / e^x = x^2 - 2*x
Gesucht ist ja gerade f'(x). Was Du meinst ist "Ausklammern".
f'(x) = (x^2 + 2*x) * e^x
Notwendige Bedingung für Extremstellen ist nun, dass die Ableitung Null wird, da nur dann eine waagerechte Tangente vorliegt. Weil aber e^x nicht Null werden kann, müssen nur die Nullstellen der Klammer bestimmt werden. Die sind x1 = 0 bzw. x2 = -2
An diesen Stellen sind Extrempunkte möglich. Durch Einsetzen in die zweite Ableitung bekommt man Gewissheit:
f''(x) = (x^2 - 2) * e^x
f''(0) = -2 => Hochpunkt an der Stelle x=0
f''(-2) = 2 / e^2 => Tiefpunkt an der Stelle x=-2
Nun noch die Funktionswerte:
f(0) = 4 => HP (0 | 4)
f(-2) = 16 / e^2 => TP (-2 | 16 / e^2)
MfG, Integralgott |
Mike Montel (Mike_Montel)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 15:38: |
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Erstmal: Danke für die Lösung, lässt sich gut nachvollziehen. Dann hätte ich aber noch eine Frage zu der Funktion: f(x)=( e^x - e^(-x) )^2
Wie heisst die Stammfunktion, und wie groß ist die eingeschlossene Fläche zischen dem Graphen und der x-Achse im Intervall [0;1] ? |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. November, 2001 - 08:54: |
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Hallo Mike
f(x)=(ex-e-x)² lässt sich mit Hilfe der 2.binom Formel umformen zu
f(x)=(ex)²-2*ex*e-x+(e-x)²
=e2x-2*ex-x+e-2x
=e2x-2e0+e-2x
=e2x+e-2x-2
Die Stammfunktion lautet nun:
F(x)=(1/2)*e2x-(1/2)*e-2x-2x
=(1/2)*[e2x-e-2x-4x]
A=ò0 1(f(x))dx
=(1/2)[e2x-e-2x-4x]10
=(1/2)*|e²-e-2-4-(e0-e0-0)|
=(1/2)*|e²-e-2-4-(1-1-0)|
=(1/2)*|e²-(1/e²)-4|
=(1/2)*3,2537
=1,627 (gerundet)
Mfg K. |
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