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Didi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 17:52: | 
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Hey liebes Zahlreich-Team,
ich habe hier einen ganz schönen Brocken!! Habe einige Ansätze rausgearbeitet allerdings ohne erfolg!!1 Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen!! Im vorraus schon mal vielen dank!!!
1) Untersuche die funktion f(x) x mal e ^(1-x) auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte!
Wie verhalten sich die Funktionswerte f(x) , wenn x gegen + unendlich bzw. gegen - unendlich strebt?
Betrachtet wird f (x) = x mal e ^(1-x) Gesucht wird nun die Gleichung der Wendetangente!
2) Der Graph von f (x) = x mal e ^(1-x) , dessen wendetangente und die y-Achse schließen ein Flächenstück ein . Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche . Zeigen sie zunächst, dass die Funktion F (x) = ( -x-1) mal e ^( 1-x) +c eine Stammfunktion von f ist!!!
Vielen dank!!
Eure Didi |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 20:04: |
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Hallo Didi
1) f(x)=x*e1-x
Nullstellen: f(x)=0
<=> x*e1-x=0 => x=0 (e-Funktion wird nicht 0)
Ableitungen:
f'(x)=e1-x-x*e1-x=(1-x)*e1-x
f"(x)=-e1-x+(1-x)*(-1)e1-x=-e1-x*(2-x)
f'"(x)=e1-x(2-x)+e1-x=(3-x)e1-x
Extrema: f'(x)=0
<=> (1-x)e1-x=0
=> 1-x=0 => x=1
f"(1)=-(2-1)e1-1=1<0 => Max für x=1
Wendepunkte: f"(x)=0
<=> -e1-x(2-x)=0
=> 2-x=0 => x=2
f'"(2)=(3-2)e1-2=e-1=1/e<>0
=> wendepunkt bei x=2
Für x->-oo geht f(x)->-oo
Für x->+oo geht f(x)->0
Wendetangente W(2/f(2))
f(2)=2*e1-2=2/e
W(2;2/e)
Steigung der Wendetangente m=f'(2)=(1-2)e1-2=-1/e
Mit der Punkt-Steigungsform folgt:
y-(2/e)=(-1/e)(x-2)
y=-(1/e)(x-2)+(2/e)
y=-x/e+(2/e)+(2/e)
y=-x/e+(4/e) ist die Gleichung der Wendetangente.
2) F(x)=(-x-1)*e1-x+c
=> F'(x)=-1*e1-x-(-x-1)e1-x
=e1-x*(-1-(x-1))
=e1-x*(x)
x*e1-x=f(x)
Also ist F(x) Stammfunktion von f(x).
A=ò0 2(-(x/e)+(4/e)-x*e1-x)dx
=[-(x²/2e)+(4/e)x-(-x-1)e1-x]20
=|-2/e+(8/e)-(-2-1)/e-(-(-0-1)e)|
=|6/e+3/e-(+e)|
=|(9/e)-e|=0,59
Mfg K. |
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