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Beitrag |
    
Sindy
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 21:18: | 
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Hallo!
Brauche dringend Hilfe bei diesen 3 Aufgaben.
Ich habe überhaupt keine Ahnung.
Berechnen Sie
a) (1/i^4)+(1/i^7)
b)(1+i)^20
c) alle Lösungen z Element C von z^4=1-i
Es wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke!!!! |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. Dezember, 2001 - 22:08: |
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Hi Sindy
a)
hierbei musst du eigentlich nur wissen, dass i^2=-1 ist:
(1/i^4)+(1/i^7)=1+i
1/(-i)=i
b)
(1+i)^20=((1+i)^2)^10=(1+2i+i^2)^10=(1+2i-1)^10=2^10*(i)^10=-1024
c)
Hierbei schreibst du erstmal 1-i in exponentieller schreibweise. Dies geht mittels der eulerschen Formel e^(ix)=i*sin(x) +cos(x).(kann man mit taylorreihen herleiten)
a*e^(bi)=a(i*sin(b)+cos(b))
1=a*cos(b)
-1=a*sin(b)
-1=tan(b)
b=7/4*pi+2k*pi..k ist ne ganze zahl
a=2^(1/2)
also:
1-i=2^(1/2)*e^((7/4*pi+2k*pi)i)
Daraus musst du jetzt die vierte wurzel ziehen:
z^4=1-i
<=>z=(1-i)^(1/4)
z=2^(1/8)*e^((7/16*pi+1/2*k*pi)i)
Für die 4Hauptwerte(exponent zwischen 0und 2pi) ergibt sich dann:
z1=2^(1/8)*e^(7/16*pi*i)
z2=2^(1/8)*e^(15/16*pi*i)
z3=2^(1/8)*e^(23/16*pi*i)
z4=2^(1/8)*e^(31/16*pi*i)
MfG
C. Schmidt |
Christian
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. Dezember, 2001 - 11:28: |
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Die Zahlen kannst du jetzt natürlich auch wieder umschreiben:
z1=0.2127475048+1.069553933i
z2=-1.069553933+0.2127475049i
z3=-0.2127475048-1.069553933i
z4=1.069553933-0.2127475049i
Zeichnet man diese Punkte in der Gaußschen Zahlenebene ein und verbindet sie, erhält man ein Quadrat. |
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