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Kreisgleichung in V3 ?!?!

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Kreisgleichung in V3 ?!?! « Zurück Vor »

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needsHelp
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Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 18:25:   Beitrag drucken

Hilfe!!

Ich brauche ganz dringend die allgemeine Kreisgleichung im Raum !!!

Bitte, helft mir, so schnell wie möglich!!!
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Rose
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Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 12:55:   Beitrag drucken

Eine allgemeine Kreisgleichung im Raum gibt es nicht. Ein Kreis lässt sich aber durch mehrere
Angaben beschreiben. z.B.:

Ebenengleichung+Mittelpunkt+Radius
Ebenengleichung+Kugelgleichung
Kugelgleichung+Kugelgleichung

usw
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 28. November, 2001 - 07:20:   Beitrag drucken

Hi

Es gibt noch eine weitere wichtige Möglichkeit,
einen Kreis allgemeiner Lage im R3 analytisch
darzustellen, die Rose nicht erwähnt hat.
Gemeint ist die Darstellung mit einem Parameter t.

Zuerst ein numerisches Beispiel.
x = 1 + 2 * cos t + sin t
y = -1 + cos t + 2* sin t
z = 2 – 2 * cos t + 2* sin t
x,y,z sind die Koordinaten eines laufenden Punktes P(x/y/z)
Der Parameter t läuft dabei von 0 bis 2*Pi

M ( 1 /-1 / 2 ) ist der Mittelpunkt, r = 3 der Radius
Die Kreisebene E hat die Koordinatengleichung
2 x – 2y + z = 6
°°°°°°°°°°°°°°°°
Zur Kontrolle : Setze x = x(t), y = y(t) , z = z(t) in die
Ebenengleichung ein, und Du hast die Genugtuung,
dass die Gleichung identisch erfüllt wird;
alle Terme mit t heben sich weg.

Wie findet man ein solche Parameterdarstellung eines Kreises
allgemeiner Lage ?

Der Vektor m sei der Ortsvektor des Mittelpunktes M
des Kreises.
Die Vektoren u und v seien Vektoren ,die aufeinander
senkrecht stehen und denselben Betrag r haben
(r ist der Radius des potentiellen Kreises, u und v
spannen die Kreisebene auf).
Der Ortsvektor p des laufenden Punktes P des Kreises
erfüllt die Vektorgleichung:
p = p(t) = u * cost + v * sin t + m
p,u,v und m sind, wie gesagt, Vektoren,
der Skalar t ist Parameter.
Für unser Zahlenbeispiel gilt:
m = {1;-1; 2}, u = {2; 1;-2},v = {1; 2; 2}
Kreisradius r = abs(u) = abs(v) = 3
Das Vektorprodukt n = u x v = {6 ; - 6 : 3}
gibt einen Normalenvektor der Kreisebene E.

Mit ähnlichen Methoden kann auch eine
Parameterdarstellung einer Ellipse allgemeiner Lage
konstruiert werden .

Soviel zur Klarstellung !

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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