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Beat
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 18:14: | 
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Hallo,
Bei der folgenden Aufgabe habe ich mich
festgefahren und komme nicht weiter.
Kann mit jemand helfen ?
Vielen Dank.
Die Vektoren OA,OB bilden den Winkel 30°,
die Vektoren OB,OC den Winkel 60°,
die Vektoren OC,OA den Winkel 60°.
Man bereche den Neigungswinkel der Ebenen
OAB und OBC.
MfG
Beat |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 21:04: |
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Hi Beat,
Die Aufgabe soll allgemein gelöst werden;
die numerischen Daten werden erst ganz
am Schluss eingesetzt.
In einer ersten Lösungsmethode verwende ich einen
kaum bekannten Satz der Vektoralgebra bezüglich
mehrfacher Vektorprodukte.
Es ist die Identität von Lagrange.
Mit dieser Formel wird das Skalarprodukt zweier
Vektorprodukte berechnet
Im ganzen sind vier Vektoren a,b,c,d im Spiel.
Wir bezeichnen:
Mit axb das vektorielle Produkt von a , b
und mit a.b das Skalarprodukt von a , b.
Dann ist nach Lagrange:
(axb). (cxd ) = (a.c)*(b.d) – ( a.d)* ( b.c)...................(1)
o.B.d.A., d.h.
ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir
annehmen, dass die von Dir angegebenen Vektoren
Einheitsvektoren sind.
Der gesuchte Winkel phi der von den Vektoren
(a,b) und (c,a) aufgespannten Ebenen E1 und E1 ist
der Winkel ihrer Normalenvektoren
n1 = axb und n2 = bxc .
Somit gilt
cos(phi)= [n1.n2] /{abs(n1)*abs(n2)}
cos (phi) = (axb) .(bxc) / {sin (alpha)*sin(beta)},
also nach (1)
cos (phi) = [ (a.b) * (b.c) – (a.c)*(b.b) ] / {sin(alpha)*sin(beta)}
= [cos(alpha )*cos(beta)-cos(gamma)]/{sin (alpha)*sin (beta)}
cos (phi) = tan(alpha)*tan(beta)–cos(gamma)/{sin(alpha)*sin(beta)}
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Setzt man die gegebenen Zahlenwerte ein,so erhält man
cos(phi) = 1 – 2*/wurzel(3), daraus phi ~ 98,899°;
der spitze Winkel beträgt 81,100°~
Eine zweite Lösung mit demselben Resultat (hoffentlich !)
ist in Vorbereitung.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 07:47: |
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Hi Beat,
hier die versprochene zweite Lösung Deiner Aufgabe.
als Exkurs in die sphärische Trigonometrie, allerdings
nur für Kenner dieses Spezialgebietes.
Mit OA ,OB, OC liegt ein so genanntes Dreikant vor.
Die Winkel alpha,beta,gamma bei O zwischen den
von Dir genannten Vektoren heissen die Seiten des
Dreikants und werden üblicherweise mit a,b,c bezeichnet
So wollen wir es im Folgenden auch halten.
Der gesuchte Winkel phi der genannten Ebenen
wird als Winkel gamma des Dreikants bezeichnet,
welcher der Seite c gegenüber liegt.
Werden die Vektoren OA,OB,OC als Einheitsvektoren
normiert, so schneidet die Kugel mit Zentrum O und
Radius 1 das Dreikant in einem sphärischen Dreieck ABC,
von dem die drei Seiten a = 30°, b = 60°, c= 60° gegeben
sind
Gesucht wird der Winkel gamma des Dreiecks
Zur Lösung könnte der Seitenosinussatz eingesetzt
werden
Wir zeigen hier einen andern, wenig bekannten Weg.
Wir führen die halbe Summe s der drei Seiten ein:
s = ½ *(a+b+c) = 75°
Sodann berechnen wir die Hilfsgrösse
k = wurzel [{sin(s-a)*sin(s-b)*sin(s-c)}/ sin s ]
Geometrische Interpretation: k ist der Tangens
des Inkreisradius des sphärischen Dreiecks ABC.
Für das numerische Beispiel erhalten wir für k den
Wert k = 0,221445.
Den Winkel gamma berechnen wir nach der Formel
cotg ( ½ * gamma ) = sin (s-c) / k .
Ergebnis: gamma = 81,100°
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wie mit der ersten Methode.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Beat
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 18:26: |
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Hallo H.R.Moser,
Besten Dank für Deine Hilfe .
Ich konnte sie gut gebrauchen und habe viel
dazu gelernt .
MfG
Beat |
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