| Autor |
Beitrag |
    
florina
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 13:01: | 
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A)
g: (vektor)x= (3;-1;1) + t (vektor) (-4;1;2)
P(1/-2/2)
Bestimme den Abstand des Punktes P zur geraden g!!
>>>ich verstehe die einzelnen Schritte nicht und bitte um Notizen am Rande wenn ihr diese Aufgaben macht.. bitte!!!<<<
B)
g: (vektor)x= (3;-1;5) + t (vektor) (2;-3;-1)
h: (vektor)x= (0;5;-3) + v (vektor) (-4;6;2)
Begründe: warum sind g und h parallel zueinander.
C)
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC durch einsetzen in die Formeln für den Flächeninhalt!
A(-1/2/0); B(1/2/4); C(-1/-3/5)
>>> danke ich wäre echt sehr glücklich wen ich die aufgaben noch heute abend kriegen könnte!!! Danke!!<<<
Florina |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. Dezember, 2001 - 16:30: |
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Hallo florina,
es ist zwar nun schon zwei Wochen her, aber vielleicht hilft es ja doch noch irgendwie :-)
A)
Den Abstand eines Punktes von einer Geraden ermitteln man immer, indem man vom Punkt aus das Lot auf die Gerade fällt. Es wird also eine Senkrechte auf der Geraden errichtet - so eine Senkrechte bezeichnet man auch als Normale, nur so der Vollständigkeit halber.
Der Punkt auf der Gerade, auf dem das Lot gefällt wird, nennt man übrigens Lotfußpunkt F.
Der Betrag des Verbindungsvektors, der von P nach F verläuft, ist dann der gesuchte Abstand.
Da PF also senkrecht auf der Geraden g steht steht, muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren g und PF gleich NULL sein.
Der Richtungsvektor von g ist uns bereits bekannt, aus der Aufgabenstellung: (-4/1/2)
Der Richtungsvektor von PF dagegen ist uns unbekannt, wir wissen nur, dass er von P aus zu einem Punkt X auf der Geraden führen muss.
Also kann man den gesuchten Richtungsvektor von PF so ausdrücken: (x1-p1/x2-p2/x3-p3),
wobei die p1, p2 und p3 die einzelnen Koordinaten des Punktes P sind, also:
(x1-1/x2+2/x3-2)
Nun kann man also eine Gleichung aufstellen für das Skalarprodukt:
(-4/1/2) o (x1-1/x2+2/x3-2) = 0
Nun wissen wir auch, dass der gesuchte Punkt X auf der Geraden liegen muss. Also kann man für x1, x2 und x3 die Parameterschreibweise in die Gleichung einsetzen.
g: x = (3;-1;1) + t * (-4;1;2)
Dabei ersetzt man:
(x1) durch ( 3 - 4*t )
(x2) durch (-1 + 1*t )
(x3) durch ( 1 + 2*t )
Man erhält so schließlich folgende Gleichung. Es sieht etwas unübersichtlich aus, weil ich hier die richtige Vektorenschreibweise nicht hinbekomme.
(-4/1/2) o ((3 -4*t -1) / (-1 +1*t +2) / (1 +2*t -2)) = 0
Man fasst die eben eingesetzten Ausdrücke zusammen und erhält:
(-4/1/2) o ((2 -4*t) / (1 +t) / (-1 +2*t)) = 0
Und das Skalarprodukt errechnet sich nun wie folgt:
-4 * (2 -4*t) + 1 * (1 +t) + 2 * (-1 +2*t) = 0
Man multipliziert aus:
-8 + 16t + 1 + t - 2 + 4t = 0
=> 21t -9 = 0
=> t = 9:21 = 3:7 = 0,4286
Das bedeutet nun: wenn man in die Geradengleichung
g: x= (3/-1/1) + t * (-4/1/2)
für t den Wert 0,4286 einsetzt, erhält man den gesuchten Lotfußpunkt F.
(3/-1/1) + 0,4286 * (-4/1/2) = ((3 - 1,7144) / (-1 + 0,4286) / (1 + 0,8572)
= (1,2856 / -0,5714 / 1,8572)
F hat also die Koordinaten (1,2856 / -0,5714 / 1,8572)
Und nun kann man den Verbindungsvektor berechnen:
FP = (1,2856-1 / -0,5714+2 / 1,8572-2) = (0,2856 / -1,4286 / -0,1428)
Und aus diesen Koordinaten berechnet man nun den Betrag:
WURZEL (0,2856*0,2856 + 1,4286*1,4286 + (-0,1428)*(-0,1428)) = 1,464
Der Abstand des Punktes P(1/-2/2) von der Geraden g: x= (3/-1/1) + t * (-4/1/2) beträgt also 1,464 Längeneinheiten.
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B)
g: x= (3;-1;5) + t * (2;-3;-1)
h: x= (0;5;-3) + v * (-4;6;2)
Beide Geraden sind parallel weil ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind. Linear abhängig heißt, sie haben beide die gleiche Richtung. Zwar sind die Komponenten der Richtungsvektoren unterschiedlich.
Aber wenn du für v in der Geraden h den Wert -0,5 einsetzt, passiert folgendes:
(-0,5) * (-4;6;2) => (2;-3;-1)
Man erhält den Richtungsvektor von g!
Beide Geraden verlaufen also in die gleiche Richtung, sind also parallel.
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C)
Hier sind die drei Punkte des Dreiecks gegeben.
Aus den gegebenen Punkten bestimmt man erst einmal die Vektoren, die die jeweiligen Dreiecksseiten darstellen:
AB = B - A = (1/2/4) - (-1/2/0) = (2/0/4)
AC = C - A = (-1/-3/5) - (-1/2/0) = (0/-5/5)
BC = C - B = (-1/-3/5) - (1/2/4) = (-2/-5/1)
Nun kann man der Sicherheit halber erstmal prüfen, ob die Punkte auch nicht alle auf einer Geraden liegen, denn dann würde es kein Dreieck ergeben.
Dazu bildet man aus den oben berechneten Werten EINE Parametergleichung aus zwei Punkten, und prüft, ob der dritte auf dieser Geraden liegt.
AB => (-1/2/0) + t * (2/0/4)
Und nun setzt man den Punkt C in die Gerade ein:
(-1/-3/5) = (-1/2/0) + t * (2/0/4)
-1 = -1 + t*2 => t = 0/2 = 0
-3 = 2 + t*0 => -3 = 2
5 = 0 + t*4 => t = 5/4 = 1,2
Es tauchen unterschiedliche t-Werte und auch noch der wenig sinnvolle Ausdruck -3 = 2 auf. Also liegt C nicht auf AB. Es entsteht also aus allen drei Punkten ein Dreieck.
Als nächstes berechnet man nun aus den oben berechneten Vektoren der Seiten die jeweiligen Beträge und erhält so die Seitenlängen:
AB = c = WURZEL (2*2 + 0*0 + 4*4) = WURZEL(20) = 4,472
AC = b = WURZEL (0*0 + (-5)*(-5) + 5*5) = WURZEL(50) = 7,071
BC = a = WURZEL ((-2)*(-2) + (-5)*(-5) + 1*1) = WURZEL(30) = 5,477
Und aus diesen Seitenlängen lässt sich nun der Flächeninhalt berechnen.
A = WURZEL(s(s-a)(s-b)(s-c))
wobei s = (a+b+c)/2 = 8,51
A = WURZEL(8,51*(8,51-5,477)*(8,51-7,071)*(8,51-4,472))
A = WURZEL(8,51 * 3,033 * 1,439 * 4,038)
A = WURZEL(150)
A = 12,25 |
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