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michel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 12:31: | 
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Hi Leute!
War längere Zeit krank und hab deshalb viel Stoff verpasst. Kann mir einer von euch die Umkehrfunktionsregel in einfachen worten verständlich machen?
Danke
Michael |
michel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 12:32: |
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Wazu braucht man diese Regel überhaupt? |
Peter
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 20:38: |
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Ist im Prinzip ganz einfach: Wenn man weiß, dass der Graph der Umkehrfunktion durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden entsteht, dann kann man sich leicht überlegen, was mit der Steigung einer Tangente (Steigung f'(x)) an einen Punkt (x/f(x)) beim Spiegeln passiert.
Sie ist dann Tangente an den Punkt (f(x)/x) der Umkehrfunktion und ihre Steigung ist genau der Kehrwert von f'(x), also 1/f'(x). Am besten mal einen Graphen aufzeichnen, eine Tangent anlegen, Steigungsdreieck einzeichnen und spiegeln.
Also ist die ABleitung der Umkehrfunktion g(x) zu f(x): g'(f(x))=1/f'(x)
bzw. g'(x)=1/f'[g(x)]
Damit lassen sich manchmal ganz elegant Ableitungen berechnen:
1. Beispiel : Ableitung des ln
g(x) = ln x
f(x) = e^x
f'(x)= e^x
Nach obiger Regel ist:
g'(x)=1/e^(lnx)=1/x
2. Beispiel
g(x)=arcsinx
f(x)=sinx
f'(x)= cosx
Nach oben:
g'(x)=1/cos(arcsinx)=1/SQRT(1-sin^2(arcsinx))=1/SQRT(1-x^2)
Gruß
Peter |
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